2. Классификация погрешностей измерений и их свойства

По источнику возникновения погрешности измерений подразделяются на следующие основные группы:

а) инструментальная погрешность - это часть погрешности измерения, зависящая от применяемых средств измерения;

б) погрешность, обусловленная отклонением от расчетного состояния среды, в которой производятся измерения ( погрешность среды );

в) погрешность, обусловленная изменением физического, геометрического и т.п. состояния объекта измерений ( погрешность объекта измерений );

г) погрешность метода измерений - составляющая погрешности измерения, происходящая от несовершенства метода измерения;

д) погрешность наблюдателя или “личная погрешность”.

По характеру влияния на результат измерения погрешности, входящие в каждую из перечисленных выше групп, подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубая погрешность существенно превышает погрешность, ожидаемую для данных условий измерений. Грубые погрешности вызываются промахами или просчетами наблюдателя, неисправностями средств измерений, резким изменением внешних условий, в которых выполняются измерения. Грубые погрешности выявляются путем организации повторных измерений и исключаются из дальнейшей обработки.

Систематическая погрешность - это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности подчиняются вполне определенным закономерностям, для их выявления и исключения из результатов измерений необходимо знать физическую сущность решаемой задачи. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений сводят к допустимому минимуму путем тщательной проверки средств измерений, применения соответствующей методики измерений, а также путем введения поправок в результаты измерений.

Случайная погрешность - это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Влияние случайной погрешности на результат измерения неизвестно. Для большинства измерений принимается, что случайные погрешности измеренных величин подчиняются нормальному закону распределения К.Ф. Гаусса:

(1)

где l_i (i – 1, 2, 3 …) – измеренные значения искомой величины;  – параметр нормального распределения, называемый стандартом; a – параметр нормального распределения, называемый математическим ожиданием; e – основание натуральных логарифмов.

Уравнению (1) соответствует кривая нормального распределения случайных погрешностей, представленная на рис.1а. Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, принимается равной единице. Часть этой площади, соответствующая какому-либо отрезку оси абсцисс, дает численную характеристику попадания случайного результата из серии l_i в этот интервал. Чем больше число измерений, тем надежнее определяется интервал или размер площади. При l=a, что соответствует неограниченно большому количеству измерений, получим максимальное значение ординаты кривой нормального распределения:

Основная масса значений измеряемой величины группируется около ее вероятнейшего значения, а именно - вокруг математического ожидания a.

Если при одинаковых условиях теми же приборами и наблюдателем с той же точностью будет многократно измерена другая величина с параметром a₁, большим, чем a, то центр группировки сместится вправо, а кривая нормального распределения сохранит свою форму и площадь (рис.1б).

Если при постоянном значении параметра a изменить параметр , т.е. уменьшить или увеличить точность измерений, то центр группирования останется неизменным, а форма кривой изменится. Она станет более распластанной вдоль оси абсцисс при снижении точности измерения (увеличении параметра ) или примет более пикообразную форму при повышении точности измерения (уменьшении параметра ), как это показано на рис.1в для условия ₂<₁. Параметр  ( стандарт ) является характеристикой случайных погрешностей измерения.

Нормальный закон распределения случайных погрешностей определяет следующие основные свойства случайных погрешностей:

Рис. 1. Кривые нормального распределения погрешностей

1. При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела. Это свойство позволяет обнаруживать, а затем исключать грубые погрешности. Из рис.1а следует, что в интервал от (a – ) до (a + ) попадает 68,3% значений измеряемой величины, в интервал от (a – 2) до (a + 2) попадает 95,4%, а в интервал (a – 3) до (a + 3) – 99,7%. Следовательно, в качестве предельной случайной погрешности можно принять _пр = 3, но в целях повышения качества измерений обычно принимают _пр = 2.

2. Положительные и отрицательные погрешности равновозможны, причем малые по абсолютной величине погрешности встречаются в измерениях чаще, чем большие.

3. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном числе измерений. Если обозначить случайные погрешности , , , …,. , а знак суммы - , то

(2)

4. Предел отношения суммы квадратов случайных погрешностей к их количеству есть величина постоянная, называемая стандартом 

² (3)