3. Закон Стокса

Всякое тело, падающее в жидкости или газе, сначала разгоняется, но затем разгон прекращается, и тело движется равномерно, то есть с постоянной скоростью.

Причиной этого закона является то, что сила сопротивления среды зависит от скорости движения тела, причём с ростом скорости растёт и сила сопротивления. Если начальная скорость тела равна нулю, то в начале падения на тело действуют только две силы: сила тяжести G, направленная вниз, и сила Архимеда (выталкивающая сила) F_А, направленная вверх. Если сила тяжести больше силы Архимеда, то тело падает вниз (тонет) с ускорением, пропорциональным разности . Скорость падения растёт, а с ней растёт и сила сопротивления F_с, направленная против скорости тела, то есть вверх. В некоторый момент времени величина силы сопротивления достигает значения , при этом суммарная сила, действующая на тело, обращается в нуль. В результате и ускорение тела становится равным нулю, то есть скорость перестаёт расти. Поскольку скорость не меняется, то и сила сопротивления, достигнув уровня , перестаёт нарастать. Следовательно, нет причин для того, чтобы у тела снова появилось ускорение, которое могло бы изменить скорость движения тела.

Выясним, по какой формуле можно рассчитать скорость равномерного падения шарика в жидкости. Условием равномерного движения является равенство

. (3.13)

Силу тяжести можно найти по формуле

, (3.14)

где ρ – плотность вещества, из которого сделан шарик, V – объём шарика, g – ускорение свободного падения. Силу Архимеда можно найти из закона Архимеда:

, (3.15)

где ρ – плотность жидкости.

Подстановка формул (3.12), (3.14) и (3.15) в условие (3.13) даёт:

. (3.16)

Так как объём шара связан с его радиусом формулой , то из (3.16) следует:

. (3.17)

4. Методика эксперимента

Эксперимент нужен для того, чтобы убедиться в правильности закона Стокса и в правильности формулы (3.17). Комплексная экспериментальная проверка формулы (3.17) требует исследования четырёх зависимостей: 𝑣(ρ), 𝑣(ρ₀), 𝑣() и 𝑣(r). В данной лабораторной работе предлагается провести частичную проверку формулы (3.17), а именно: убедиться в том, что скорость равномерного падения шарика 𝑣 пропорциональна квадрату радиуса шарика. Для этого нужно взять несколько шариков разных размеров, выполненных из одного и того же материала, измерить их радиусы, а затем измерить скорость падения каждого из шариков в одной и той же жидкости. После этого надо построить график зависимости скорости 𝑣 от квадрата радиуса r². Если эта зависимость действительно прямо пропорциональная, то экспериментальные точки на графике выстроятся вдоль прямой линии, проходящей через начало координат.

Радиусы шариков можно измерить прямым способом – микрометром. Измерение скорости – задача посерьёзней. Если бы движение шарика было всё время равномерным, то для измерения скорости достаточно было бы измерить высоту уровня жидкости в сосуде h и время падения шарика на дно сосуда t, а затем воспользоваться формулой

. (3.18)

На самом деле время процесс падения шарика состоит из двух этапов: первый этап длительностью t₁ – разгон и только второй этап длительностью t₂ – равномерное движение. Определить момент времени, когда заканчивается разгон, очень непросто, однако при условии можно считать, что нарастание скорости происходит мгновенно и тогда формула (3.18) даёт правильное значение скорости¹⁰. Для того чтобы разница между t₁ и t₂ была как можно больше, целесообразно отпускать шарик не на уровне жидкости, а чуть выше уровня (на 3 – 5 см), так как в воздухе шарик разгоняется быстрее, чем в жидкости.

Если описанный выше эксперимент завершится удачно, то есть экспериментальные точки на графике в координатах (r²; 𝑣) выстроятся вдоль прямой линии, проходящей через начало координат, то это будет служить косвенным подтверждением закона Стокса. В самом деле, вывод формулы (3.17) основан на законе Стокса, так что её экспериментальная проверка является одновременно косвенной проверкой тех предпосылок, из которых она следует.

Ещё одну полезную информацию можно получить из описанного эксперимента, если он завершится удачно: подтверждение формулы (3.17) означает, что её можно использовать для измерения коэффициента внутреннего трения жидкости  при известных значениях плотности материала шарика  и плотности жидкости ₀. Из (3.17) следует:

. (3.19)

Значения r и 𝑣 можно взять из результатов эксперимента (для любого из шариков), но с целью повышения точности измерения  лучше поступить иначе: надо выбрать на экспериментальной прямой линии произвольную точку A, измерить её координаты и затем именно эти два числа подставить в формулу (3.19)¹¹. Точку A желательно выбирать справа от всех экспериментальных точек.