2. Методические рекомендации по выполнению курсовых и дипломных работ с вычислениями на эвм

2.1. Ознакомление с математической моделью

Развитие вычислительной техники привело к значительному распространению численных методов исследования во многих отраслях знаний, особенно связанных с точными науками и прежде всего с физикой. Параллельно с этим шло развитие методов вычислений, которые уже давно превратились в отдельную отрасль – вычислительную математику, овладение, по крайней мере, основами которой – необходимое условие для современного квалифицированного специалиста.

Наряду с усвоением теоретических аспектов вычислительной математики существенную роль играет умение практически применять полученные знания для решения конкретной научно- исследовательской задачи. В комплекс практических навыков на современном этапе должны входить а) знание, по крайней мере, одного из алгоритмических языков высокого уровня (С++, FORTRAN); б) знакомство с основными алгоритмами, умение подобрать нужные из них и записать на алгоритмическом языке; в) знание и умение использовать имеющуюся библиотеку стандартных программ; г) умение довести задачу «до числа», навыки отладки и организации счета.

Задачи, предлагаемые для курсовой и дипломной работ, относительно просты и несут, в основном, программистскую нагрузку. Для выполнения этих задач не нужно большого объема машинного времени и подготавливаемой информации. Задачи выдаются каждому студенту, т.е. предполагается индивидуальное выполнение и отчетность.

Решение задач математической физики на ЭВМ является одним из основных инструментов исследования физических явлений. Эти задачи ставятся в тех случаях, когда известны (или моделируются) основные законы, управляющие физическими процессами, записанные в виде уравнений, и математически сформулированы все дополнительные условия, определяющие изучаемое явление.

Математическая постановка задачи представляет собой предмет специального анализа. В связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи существует, 2) задача имеет единственное решение, 3) решение задачи непрерывно зависит от входных данных (устойчиво).

Отметим, что в физике часто встречаются и некорректно поставленные задачи. Они появляются при изучении объектов, не доступных непосредственному исследованию (измерению), в частности, при изучении обратных задач математической физики. В этих случаях приходится делать заключения о характеристиках таких объектов по косвенным (физически детерминированным) проявлениям. Такие задачи решаются с помощью метода регуляризации академика А.Н.Тихонова.

Темы работ, как правило, тесно связаны с практическими задачами, возникающими в различных областях естествознания, и, следовательно, студентам предлагаются для исследования математические модели реальных явлений. Прежде чем решать задачу, студент должен ознакомиться с характерными чертами модели, ее происхождением. Укажем наиболее важные этапы этого ознакомления:

1) установление корректности математической постановки задачи в рассматриваемых пространствах;

2) определение классов корректности сужением либо расширением функциональных пространств, если задача не является корректной;

3) оценка порядков входных данных модели;

4) отыскание явных формул для решений;

5) установление асимптотических формул для решений;

6) определение значений функционалов, имеющих физическое содержание;

7) определение качественных свойств решений, их характерных особенностей.

Исследование модели по этим пунктам студент осуществляет, пользуясь рекомендованной литературой.

Отчет по работе должен содержать резюме по пунктам 1-7 со ссылками на литературу.