3. Энергия упругих волн

Процесс распространения волны в среде сопровождается переносом энергии колебаний в направлении распространения. Если S есть часть волнового фронта, то за время dt он переместиться на расстояние dx=Vdt (Рис. 27.4), и частицы в о бъеме dv=Sdx=SVdt приводятся в колебательное движение. Если ω - плотность энергии колеблющихся частиц в объеме dV, то через площадь S за время dt будет перенесен поток энергии Ф:

Плотностью потока энергии или интенсивностью волны I называют энергию, перенесенную за единицу времени через единицу площади:

(27.8)

Т.к. скорость распространения волны - вектор, то и интенсивность волны - вектор, вектор Умова.

Для механических волн энергия колеблющейся частицы равна , а плотность энергии , где n и m - концентрация и масса частиц, S₀ и ω - амплитуда и частота колебаний, т.к. - плотность среды, то:

(27.9)

где - амплитуда скорости колебаний.

4. Cтоячие волны

Если размеры среды, где распространяется волна, ограничены, например, веревка или струна о закрепленными концами, то бегущие волны будут отражаться от обоих концов. Тогда колебания будут представлять положение таких волн, распространяющихся взад и вперед, и образуется стоячая волна.

Пусть уравнения бегущей и отраженной волн будут

В результате сложения получаем

(27.10)

Это есть уравнение стоячей волны. Ее амплитуда

В точках, где coskx=±1 или , (n=0,1,2,..)

амплитуда достигает максимального значения 2S₀ (пучности стоячей волны):

(27.11)

В точках, где coskx=0 или (n=0,1,2,...), амплитуда обращается в нуль (узлы стоячей волны):

(27.12)

Из формул (27.11) и (27.12) следует, что расстояния между соседними пучностями, как и узлами, равно . Пучности и узлы смещены друг относительно друга на (Рис.27.5). При изменении x на coskx в (27.10)

меняет знак на обратный, поэтому в пределах одной полуволны (от одного узла до другого) частицы отклонены в одну сторону, а в пределах соседней - в противоположную. Стоячая волна отличается от бегущей следующим:

1)в бегущей волне амплитуды везде одинаковы, в стоячей - различны в разных местах; имеются узлы и пучности;

2)в пределах одного участка (между соседними узлами) все точки колеблются в одинаковой фазе, в бегущей - фазы зависят от координат;

3) в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, как в бегущей волне.

5. Свойства электромагнитных волн

Из теории Максвелла (лк. 24) следует, что переменное электрическое поле порождает магнитное, а переменное магнитное поло - электрическое. Эти вторичные поля носят вихревой характер; силовые линии порождающего поля концентрически охвачены концентрическими линиями порождаемого поля. В результате образуется система "переплетенных" между собой электрических и магнитных полей, образующих единое электромагнитное поле. "Мгновенный" с нимок такого поля представлен на Рис.28.1. Будучи первоначально связаны с зарядами и токами, переменные электрические и магнитные поля могут затем существовать независимо от зарядов и токов и, порождая друг друга, перемещаться в пространстве с конечной скоростью. Распространяющееся в пространстве электромагнитное поле называют электромагнитной волной. Электромагнитная волна характеризуется двумя векторами -напряженности электрического поля и магнитной индукции (чаще напряженностью магнитного поля ). Связь между ними и зависимость их от координат и времени определяются системой дифференциальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Они с помощью математических преобразований могут быть получены из интегральных уравнений Максвелла (см.лк.24). Так, можно показать, что напряженности и переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению (см.лк.27)

(28.1)

Решение этих уравнений представляет уравнение плоской электромагнитной волны

(28.2)

Здесь м/с - электродинамическая постоянная.

Как видно, теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и позволила определить фазовую скорость электромагнитной волны

(28.3)

Для вакуума ε=1, μ=1 и V=c. Следовательно, электродинамическая постоянная есть скорость электромагнитной волны в вакууме. Сравнение ее с известными в то время значениями скоростей света в вакууме показало, что обе величины практически совпадают. Это навело Максвелла на мысль об электромагнитной природе света.

Из уравнений Максвелла следует, что векторы и в электромагнитной волне взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны. Электромагнитная волна является поперечной (Рис.28.2). Из этих же уравнений следует, что модули векторов и у электромагнитной волны связаны соотношением:

(28.4)

Электромагнитное поле обладает энергией. Поэтому распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии в пространстве. Вектор плотности потока энергии электромагнитных волн называется вектором Умова-Пойтинга:

(28.5)

где - скорость электромагнитной волны, - объемная плотность энергии электромагнитного поля. Т.к. ; , то .

С помощью (28.4) можно получить:

или в векторном виде

(28.6)