3. Частица в потенциальной яме

В качестве примера рассмотрим решение уравнения Шредингера для частицы, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и движущейся вдоль оси Oх. График по­тенциальной энергии U(х) представлен на Рис. 34.1.

U=0 при 0<х<l (1 область) и U = ∞ при х<0 и х>l (2 и 3 области). Возрастание потенциальной энер­гии от 0 до ∞ соответствует тому, что при приближении частицы, находящейся внутри потенциальной ямы, к стенкам, в озника­ют бесконечно большие силы, препятствующие движению частицы. В подобных условиях, например, находятся свободные электроны в металле (см. лк. 17). Рассматриваемый случаи весьма идеали­зирован, однако очень нагляден.

При одномерном движении частицы ψ=ψ(x) и для 1-й области, где U=0, уравнение Шредингера имеет вид

(34.7)

Это уравнение имеет решение

или

где β, С, α являются константами и находятся из граничных условий. Непрерывность ψ(х) требует, чтобы на границах области она принимала нулевые значения:

ψ(0)=Csinα=0, откуда α=0

ψ(l)=Csinβl=0, откуда , где n=1, 2…

Т.о., получаем набор волновых функций, ψ_n(x):

(34.8)

Коэффициент С находим из условия нормировки ψ(x). В одномерном случае согласно (33.3) пред­ставляет собой вероятность найти частицу в интервале dx. Т.к. частица не может выйти из 1-й области, то вероятность ее найти внутри этой области равна 1:

(34.9)

Подставляя в эту формулы (34.8), можно найти

Окончательно

(34.10)

Подставив это выражение в (34.7), находим собственные значения энергии Е_n частицы

, откуда

(34.11)

Итак, в рассмотренном случае мы получили набор волновых функций (34.10) и ряд соответствующих этим функциям "дозволен­ных" значений энергии частицы (34.11) - дискретный энергетический спектр. Значения Е_n и ψ_n определяют состояние, в ко­тором находится частица, и зависят от квантового числа n. Для наглядности состояния с различными Е_n изображают в виде энергетических диаграмм, на которых горизонтальная прямая coответствует состоянию с данным значением энергии - энергетичес­кий уровень. На Рис.34.2 изображены три первых энергетичес­ких уровня (а) и соответствующие им плотности вероятности (б).

Лекция 45	Туннельный эффект. Расчёт водородоподобного атома в квантовой механике.
	Энергетический спектр атомов и молекул. Рентгеновское излучение, характеристическое и тормозное.

1. Корпускулярная модель атома.

Окончательное завершение квантовая теория получила после того, как ее применили к описанию строения атома. Задолго до создания квантовой механики стало очевидным, что атом не явля­ется неделимой частицей, а в состав его входят отрицательные заряды - электроны и положительный заряд. Проведенне Э.Резерфордом в 1911г, опыт по рассеянию α-частиц позволили ему обосновать планетарную модель атома. Согласно этой модели основная масса атома сосредоточена в положительно заряженном ядре, а электроны находятся на сравнительно больших расстояниях от него и вращаются по орбитам. Однако такая модель, осно­ванная на экспериментальных фактах, делала атом неустойчивым. Дело в том, что вращающиеся электрон по законам электродинами­ки должен непрерывно излучать электромагнитную волну и, теряя при этом энергию, упасть на ядро. Опыт же показывает, что атом весьма устойчивая система.

Богатый материал для изучения строения атома дают спектро­скопические наблюдения светящихся газов. При изучении спектра светящегося водорода при тлеющем разряде удалось установить, что в видимой области спектра у него обнаруживается 6 спектраль­ных, линий, длины которых можно было точно измерить. В 1885 г. И.Я.Бальмеру удалось подобрать формулу, которая позволяла вы­числить все длины волн так называемой серии Бальмера:

(35.1)

где -частота излучения, R - постоянная Ридберга (R=3,29∙10¹⁵с^-1), m и n - целые числа, которые принимают значения m=2, n=3,4,...

Линейчатый характер спектров излучения и присутствие це­лых чисел в формуле для спектральной серии приводят к выводу, что атом может излучать и поглощать энергию только определен­ными порциями - квантами. Исходя из этого, Н.Бор в 1913 г, создал квантовую теорию строения атома, в основу которой легли три постулата.

1. Электроны в атоме могут двигаться лишь по стационарным ор­битам. удовлетворяющим условию

(35.2)

где mVr - момент импульса электрона на орбите радиуса r, n - целое число, ћ - постоянная Планка.

2. В стационарном состоянии электрон не излучает и не поглощает энергий.

3. Излучение и поглощение энергии происходит при переходе о одной стационарной орбиты на другую; частота излучения при атом определяется соотношением Планка-Эйнштейна:

(35.3)

где Е(n) и E(m) - энергии на n-й и m-й орбитах.

Простые вычисления дают формулы для радиусов стационарных орбит для самого простого атома - атома водорода.

Чтобы обеспечить вращение электрона, центробежная сила должна уравновешиваться силой электрического притяжения . Следовательно, . Решая это уравнение совместно с (35.2), получим скорость движения электрона на n-й орбите и ее радиус:

(35.4)

(35.5)

Подставив в (35.5) соответствующие величины в единицах СГС, получим радиус первой орбиты r₁=0,53∙10^-8см, скорость его движения на этой орбите составляет 2∙10⁶м/c.

Полная энергия электрона на орбите равна . Т.к. , то . Подставив сюда выражение для r из (35.5), получим энергию электрона на n-й орбите:

(35.6)

На ближайшей к ядру орбите (n=1) . Получив выражение для энергий стационарных орбит, можно найти частоту излучения, возникающего при переходах между ними:

(35.7)

Именно эта формула и принесла наибольший успех гипотезе Бора, т.к. вычисленную по ней частоту можно сравнить с экспе­риментом. Подставив в (35.7) значения m, e, ћ, получим , т.е. формула частот Бора прекрасно совпадает с эмпирической формулой Бальмера (35.1), а сама теория обьясняет происхождение серии Бальмера как результат переходов электронов на, вторую орбиту с более высоких (m=2, n=3,4,...).

Экспериментальным подтверждением постулатов Бора являют­ся и опыты Д.Франка и Г.Герца, выполненные ими в 1914г. При изучении прохождения пучка электронов через газы ими была экспериментально обнаружена дискретность возможных значений энергии атомов.