1. Волновая функция

Теория, описывающая движение микрочастиц с учетом их волновых свойств, называется квантовой или волновой механи­кой.

Из физического смысла волн де Бройля следует, что в квантовой механике задание состояния частицы должно быть иным, чем в классической. Принципиальной особенностью кванто­вой механики является вероятностный характер описания явле­ний. Причем эта вероятность определяется квадратом амплитуды волн де Бройля. Известно, что математическое выражение, опи­сывающее распространение волны в пространстве, называют вол­новой функцией, которая для плоской волны имеет вид (лк.27)

Заменяя в этом выражении характеристики волны ω и к характеристиками частиц Е и Р из соотношения , получим волновую функцию для свободнодвижущейся частицы с постоянными Е и Р. В квантовой механике принято волновую функцию микрочастиц обозначать ψ ("Пси" - функ­ция). . Волновую функцию ψ, описывающую волну микрочастицы, записывают в более общем комп­лексном виде (на основании известных в математике формул Эйлера):

(33.2)

где - мнимая единица.

На основании физического смысла волновой функции и ее комплексного вида можно сказать, что квадрат модуля волновой функции должен быть пропорционален вероятности то­го, что частица находится в бесконечно малом объеме ΔV:

(33.3)

Следовательно, квадрат модуля волновой функции представ­ляет собой плотность вероятности найти частицу в данной точ­ке пространства:

(33.4)

2. Уравнение Шредингера

Уравнение, описывающее движение микрочастиц, должно учиты­вать не только их корпускулярные, но и волновые свойства. Та­ким уравнением является уравнение Э.Шредингера, полученное им в 1926 г. Оно не сводится к каким-либо другим известным уравнениям физики потому, что содержит в себе принципиально новую идею о синтезе корпускулярных и волновых свойств частиц. Его нельзя вывести, однако, можно проследить его связь с другими уравнениями. Используя вид волновой функции для свободной частицы (33.2), найдем:

;

откуда

(34.1)

(34.2)

Энергия движущейся частицы характеризуется кинетической энергией , где р - импульс, и потенциальной U. Так что

K=E-U или .

Подставив сюда (34.1) и (34.2), найдем

(34.3)

Это и есть уравнение Шредингера для одномерного случая.

В общем случае и уравнение будет

(34.4)

или

(34.5)

Если силовое поле не зависит от времени, т.е. U=U(x,y,z), то представив ψ - в виде полу­чим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

(34.6)

Из физического смысла ψ следует, что она должна быть непрерывной, конечной и однозначной во всем рассматриваемом пространстве. Наложение таких условий часто приводит к тому, что уравнение Шредингера имеет решение не при всех значениях полной энергии Е, а только для дискретного ряда значений Е₁, Е₂, …, Е_n, которые называют собственными значениями, а функ­ции ψ₁, ψ₂,… ψ_n, являющиеся решениями уравнения (34.6). при Е=Е₁, Е=Е₂,… называют собственными функциями, при-надлежащими собственным значениям.