2.2. Основные уравнения электромагнитного поля

Из всех видов неразрушающего контроля по крайней мере вих-ретоковый, магнитный и электрический базируются на взаимодействии электромагнитных полей с объектом контроля. По этой причине целесообразно рассмотреть общие свойства этих полей и частные случаи использования их в тех или иных видах НК.

Уравнения Максвелла в интегральной форме — это представление в обобщенной форме законов, связывающих электрические и магнитные величины. Связь между напряженностью магнитного поля и электрическим током устанавливается законом полного тока:

, (2.4)

где Н — вектор напряженности магнитного поля; L — произвольный замкнутый контур; dl —элемент его длины; l_пл — полный ток, охватываемый контуром L.

Это уравнение определяет магнитное поле, возникающее при движении заряженных частиц. Дж. К. Максвелл (1831—1879) первым указал, что в правой части уравнения необходимо учитывать все виды токов, в том числе и ток смещения в пустоте.

Связь между напряженностью электрического поля и скоростью изменения во времени магнитного поля, открытая М. Фарадеем (1791—1867), названа законом электромагнитной индукции. Максвеллу принадлежит заслуга обобщения этого закона для лю­бой среды:

, (2.5)

где Е — вектор напряженности электрического поля; Ф — магнитный поток, проходящий сквозь поверхность, охватываемую контуром L.

Максвелл указал, что при изменении магнитного потока электрическое поле возникает не только в витке, где наводится эдс, но и вдоль любого контура, даже мысленно выделяемого в любой среде, в том числе и в вакууме.

Связь вектора электрической индукции, окружающей заряженные частицы, с их электрическим зарядом q определяется постулатом Максвелла:

, (2.6)

где D — вектор электрической индукции, т. е. поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность S; в любой среде он равен свободному заряду в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Аналогично, для магнитных полей справедливо утверждение о непрерывности силовых линий магнитного поля:

(2.7)

где В — вектор магнитной индукции.

Эти четыре уравнения устанавливают связь между электрическими и магнитными величинами, характеризующими электромагнитное поле в любом объеме пространства. Изучение электромагнитного поля в каждой точке пространства, а не в конечных объемах требует дифференциальной формы записи уравнений Максвелла. Поясним это на таком примере.

Согласно уравнению (2.4) линейный интеграл

от напряженности поля по замкнутому контуру слу -

Рис.2.3 К иллюстрации закона жит мерой электрического тока, проходящего

полного тока. через поверхность S, ограниченную этим контуром (рис. 2.3). По значению интеграла нельзя судить о распределении тока по поверхности S. Запишем закон полного тока через вектор плотности тока J_пл:

. (2.8)

Согласно теореме Стокса . Тогда

. (2.9)

Равенство (2.9) справедливо для любых пределов интегрирования, поэтому равны и подынтегральные функции:

rotH = J_пл. (2.10)

Это и есть первое уравнение Максвелла. Запись в векторной форме позволяет избежать зависимости от системы координат. Следует отметить, что здесь J_пл — это вектор плотности полного тока:

J_пл = J_ст + J_пр + J_см J_пер, (2.11)

где J_ст — плотность сторонних токов, т. е. в рассматриваемых случаях токов возбуждающих обмоток преобразователей; J_np= σE — плотность токов проводимости (вихревых токов); J_см = dD/dt — плотность токов смещения; J_nep= σ[v×B] — плотность токов переноса, обусловленных движением ОК относительно магнитного поля, создаваемого возбуждающими катушками преобразователя. Здесь σ — удельная электрическая проводимость OK, v — скорость движения ОК относительно магнитного поля.

Второе уравнение Максвелла представляет закон электромагнитной индукции, согласно которому в витке при изменении сцепленного с ним магнитного потока Ф наводится эдс

e = - dФ/dt. (2.12)

Заслуга Максвелла состоит в обобщении этого закона, т. е. в утверждении, что изменяющийся магнитный поток возбуждает электрическое поле и при отсутствии витка. Записывая выражение для магнитного потока Ф через магнитную индукцию, т. е.

Рис.2.4. Поток вектора магнитной индукции через поверхность.

, (2.13)

а значение эдс, наведенной в замкнутом контуре L (см. рис. 2.4), охватывающем площадку S, — через напряженность электрического поля, т. е.

, (2.14)

получаем

. (2.15)

Частная производная д/dt использована потому, что эдс может индуцироваться не только вследствие изменения магнитного потока во времени, но и вследствие движения или деформации контура.

Согласно теореме Стокса , тогда

. (2.16)

Здесь также равенство интегралов справедливо для любой поверхности S, поэтому равны подынтегральные функции:

rot Е=-dВ/dt. (2.17)

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что изменяющееся во времени магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Полная система уравнений электромагнитного, поля записывается в виде четырех уравнений в дифференциальной форме и называется обычно системой уравнений Максвелла:

Полная система уравнений электромагнитного, поля записывается в виде четырех уравнений в дифференциальной форме и называется обычно системой уравнений Максвелла:

, (2.18)

, , . (2.19)

Это основные уравнения электромагнитного поля, связывающие четыре вектора Е, D, В, Н, два из которых характеризуют электрическое поле, а два других — магнитное.

Физический смысл уравнений электромагнитного поля заключается в том, что электрическое и магнитное поля существуют не отдельно друг от друга, а только совместно. Изменение, а не просто наличие электрического поля приводит, согласно уравнению (2.18), к появлению вихревого магнитного поля (rot H), а изменение электрического поля, согласно уравнению (2.19), приводит к появлению вихревого электрического поля.

Удельная энергия электромагнитного поля может быть представлена в виде суммы энергий электрического W_Э и магнитного W_M полей:

W = W_Э + W_М = ε_гε₀E²/2 + μ_r μ_о H2/2. (2.20)

Характерно для этих полей то, что энергия одного поля может переходить в энергию другого при естественном условии, что сумма энергий остается постоянной. Кроме того, существуют необратимые потери. Мощность тепловых потерь

Р = J²/σ (2.21)

часто приходится учитывать в вихретоковом контроле. Особенно велико ее значение при вихретоковом контроле в сильных полях, например по методу высших гармоник, когда нельзя не считаться с нагревом объекта контроля вихревыми токами.

В тех же случаях, когда электромагнитная энергия не преобразуется в теплоту, электромагнитное поле распространяется без потерь. Это происходит в средах, условно называемых идеальными диэлектриками. Электромагнитное поле распространяется в радиальном направлении от источника, причем с увеличением расстояния вследствие увеличения радиуса кривизны поле становится все более похожим на плоское.

Чтобы решить систему уравнений Максвелла, необходимо знать свойства среды, в которой распространяется электромагнитное поле. В задачах неразрушающего контроля такой средой является объект контроля. Свойства объекта, находящегося в электромагнитном поле, характеризуются следующими зависимостями:

J_np=σE, D = ε_aE, B = μ_aH. (2.22)

Первые две зависимости характеризуют электрические, а третья— магнитные свойства. Если σ, ε_а и μ_а одинаковы во всех точках материала и не зависят ни от направления векторов Е и Н, ни от их модулей, то такие материалы называют однородными, изотропными и линейными. В анизотропных материалах электрические и магнитные свойства зависят от направления, поэтому величины σ, ε_а и μ_а следует считать тензорами. В нелинейных материалах связь между индукцией и напряженностью поля D(E) и В(Н) нелинейна, а иногда (ферромагнетики, сегнетоэлектрики) и неоднозначна, она имеет гистерезисный характер. В этих случаях ε_а и μ_а, а иногда и σ нельзя считать постоянными величинами.

В неподвижном (v = 0) относительно электромагнитного поля OK J_nep= σ[v×B] = 0. В этом случае уравнения Максвелла с учетом (2.22) при ε_а =const и μ_а =const могут быть записаны в виде

, (2.23)

. (2.24)

Эти уравнения можно преобразовать в уравнения второго порядка относительно напряженностей поля Н и Е. Применив операцию rot к первому уравнению и подставив в него значения rot E из второго уравнения, получим уравнение для напряженности магнитного поля:

, (2.25)

где .

Аналогично можно получить уравнение для вектора напряженности электрического поля:

(2.26)

Уравнения (2.23) и (2.24) можно свести к уравнению для векторного потенциала А, определяемого выражением В = rot A:

. (2.27)

При выводе уравнений (1.25) — (1.27) принимается divH = div E=div A=0, что всегда справедливо для однородных сред.

При решении некоторых задач расчета электромагнитного поля целесообразно использовать вектор Герца Z, который связан с век­торным потенциалом А уравнением

(2.28)

Для вектора Герца также в предположении divZ=0 справедливо следующее дифференциальное уравнение:

где вектор р_ст связан с вектором плотности сторонних токов J_ст зависимостью

. (2.30)

Плотность токов смещения многих электропроводящих объектов вихретокового контроля, выполненных из металлов, сплавов и некоторых других материалов, незначительна по сравнению с плотностью токов проводимости, поэтому уравнения (2.25) и (2.27), наиболее часто используемые в теории вихретокового контроля, можно представить в виде

, (2.25’)

. (2.27’)

Для объекта контроля, в котором отсутствуют сторонние токи, они переходят в однородные уравнения:

, (2.25’)

. (2.27’)

Если величина Н изменяется во времени по синусоидальному закону с угловой частотой , т. е. H(t) = Hе^jt (монохроматические поля), то уравнения (2.25) и (2.27) переходят в уравнения Гельмгольца:

, (2.31)

, (2.32)

где . (2.33)

Комплексную величину σ называют иногда комплексной удельной электрической проводимостью. В ОК она определяет как токи проводимости (вихревые токи), так и токи смещения:

, , .

Заметим, что комплексная удельная электрическая проводимость σ — это отнюдь не физическая величина, а формально введенное расчетное соотношение. Названо оно проводимостью потому, что при его введении уравнения имеют точно такой же вид, как и в случае только токов проводимости, т. е. если бы материал характеризовался только своей удельной электрической проводимостью— действительным числом σ.

Вместо комплексной удельной электрической проводимости можно также формально ввести комплексную диэлектрическую проницаемость:

.

В этом случае величина, стоящая в скобках, формально может трактоваться как комплексная диэлектрическая проницаемость ε_а и характеризовать диэлектрик с потерями: .

Совершенно очевидно, что в пренебрежении токами смещения используют уравнения (1.25') и (1.27^/) и k² = - jεμ_а.

При относительном движении ВТП и ОК со скоростью v для синусоидального возбуждающего тока уравнение (2.32) примет вид

. (2.34)

Связь вектора напряженности электрического поля Е с векторным потенциалом А можно легко получить на основании второго уравнения Максвелла

,

из которого следует, что

E = - dA/dt. (2.35)

Для монохроматического поля векторный потенциал А связан с напряженностью электрического поля соотношением .