12.2. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 12.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых знаменатель равен нулю)

Теорема 12.2. Пусть функция непрерывна в точке х₀, а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке х₀.

Теорема 12.3. Функция, обратная для непрерывной монотонной функции также непрерывна и монотонна.

Теорема 12.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Т еорема 12.5 (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, F(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между A и B.

12.3. Классификация точек разрыва

Пусть точка разрыва функции .

• Точка называется точкой устранимого разрыва первого рода, если .

• Точка называется точкой неустранимого разрыва первого рода, если , а , причем .

• Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов (справа или слева) не существует или равен бесконечности.

§13. Производная функции

13.1. Приращение аргумента и приращение функции

Рассмотрим функцию . Пусть x – некоторое значение аргумента, – соответствующее значение функции. Перейдем от значения x к другому значению аргумента x₁. Разность x – x₁ обозначим через x и назовем приращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента x₁ = x + x, равно f(x+x). Разность f(x+x)–f(x) называется приращением функции в точке x, соответствующим приращению аргумента x, и обозначается y:

y = f(x+x) – f(x).

13.2. Определение производной функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x. Дадим аргументу x приращение x (при этом предполагается, что точка x+x принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение y=f(x+x)–f(x).

• Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Производная функции y = f(x) в точке x обозначается символами . Итак, по определению

.

Как следует из определения, производная функции f(x) в точке x есть число, зависящее от рассматриваемого значения x (но не зависящее от x). Рассматривая производную функции f(x) в различных точках x мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, производная является функцией переменной x, определенной в области определения функции f(x) или в части этой области.

13.3. Геометрический смысл производной

П усть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую . Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая принимает различные положения. Предельное положение данной секущей – касательная.

Рассмотрим функцию .

Пусть , , – секущая, . Если неограниченно приближается к , то . Тогда .

.

Следовательно, значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .

Вспомнив вид уравнения прямой на плоскости с угловым коэффициентом, мы можем написать уравнение касательной к графику функции в точке касания (х₀, у₀), где :