5.10. Решение слу по Крамеру.

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:

(5.1)

Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения А_ik основной матрицы А системы (5.1):

1-е уравнение домножим на А_1k, второе – на А_2k, и т.д., п-е – на А_пk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученного уравнения коэффициент при х_k будет равен = |A|. А коэффициент при х_s , s  k, равен - это определитель, у которого k-й столбец в матрице А заменен на s-й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k-м и s-м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех х_s , s  k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид - это определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой k-го столбца на столбец из правых частей системы (5.1). Этот определитель мы будем обозначать _k = . Следовательно, после сложения домноженных уравнений мы получим уравнение вида |A| х_k= _k . Это уравнение – следствие системы (5.1).

Если |A|= 0 и  _k  0, то уравнение |A| х_k= _k не имеет решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.

Если |A|  0, то из решения по Гауссу система (5.1) - совместная и определенная, и её решения являются решениями уравнений |A| х_k= _k , которые имеют единственное решение х_k = _k / |A|. Следовательно, набор х_k = _k / |A|, k = 1,…,п, является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.

Если |A|= 0 и все _k= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать её, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.

Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.

Лекция 10.

5.11. Теорема Лапласа.

Для любых s₁ s₂ … s_m и t₁ t₂ … t_m будем обозначать через минор (определитель) матрицы А, стоящий на пересечении столбцов с номерами s₁, s_{2 ,}…, s_m и строк с номерами t₁, t₂ ,…, t_m .

Пусть k₁ k₂ … k_p - номера фиксированных столбцов (пп)-матрицы А, k_p+1 k_p+2 … k_n – номера дополнительных (фиксированных) столбцов матрицы А.

Теорема Лапласа.

|A| = , (5.2)

где i₁ i₂ … i_p – (переменные) номера всевозможных строк, по которым ведет­ся суммирование, i_p+1 i_p+2 … i_n - номера дополнительных строк.

Доказательство. Очевидно, сумма в теореме Лапласа состоит из слагаемых. По теореме о полном разложении определителя минор содержит р! слагаемых, а минор содержит (п – р)! слагаемых. Если все эти слагаемые перемножить в каждом из произведений миноров, то получим всего р!(п – р)! = п! слагаемых – ровно столько же, сколько содержится в теореме о полном разложении определителя |A|. Кроме того, после перемножения все полученные слагаемые – это одночлены, множителями которых являются элементы матрицы А, выбранные по одному из каждого столбца с номерами k₁, k₂ ,…, k_p и с номерами k_p+1, k_p+2,…, k_n , то есть элементы матрицы А, выбранные по одному из всех столбцов, и аналогично по одному из всех строк. Это значит, что 1) среди этих одночленов нет подобных членов, и 2) эти одночлены в точности такие же, как одночлены, которые получаются при разложении |A| по теореме о полном разложении определителя. Последнее, что осталось проверить – это то, что все эти одночлены в правой части равенства (5.2) имеют такие же знаки, как и одночлены в разложении определителя |A|, или, как мы будем говорить – правильные знаки.

Лемма. Пусть k₁=1, k₂ =2,…, k_p= р, и, следовательно,

k_p+1= р+1, k_p+2=р+2,…,k_n=п. Запишем правую часть равенства (5.2) в виде + все остальные слагаемые. Докажем, что все одночлены из имеют правильные знаки.

Доказательство леммы. Произвольный одночлен из имеет вид

, где

₁= , (₁)= (- 1)^r, ₂= , (₂) = (- 1)^s, r – число инверсий подстановки ₁ , s - число инверсий подстановки ₂. Таким образом, в правой части формулы (5.2) одночлен имеет знак (- 1)^r+s. А в левой части формулы (5.2) в разложении |A| одночлен имеет знак

()= (- 1)^t, где

 = , а t - число инверсий подстановки . Но, очевидно, t = r + s, так как у подстановки  инверсии образуют лишь элементы j₁, j₂,…, j_p между собой и элементы j_р+1, j_р+2,…, j_п между собой, а между элементами из подмножеств j₁, j₂,…, j_p и j_р+1, j_р+2,…, j_п инверсий нет, так все элементы второго подмножества больше элементов первого подмножества и расположены правее.

Таким образом, в правой части формулы (5.2) все одночлены из имеют правильные знаки.

Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы. Докажем теперь, что все одночлены в (5.2) из слагаемого

имеют правильные знаки. В матрице A переставим k₁-й столбец на 1-е место, меняя местами его каждый раз с соседними предыдущими столбцами, за (k₁–1) шагов; затем k₂-й столбец на 2-е место за (k₂–2) шагов и т.д.; и наконец, k_р-й столбец на р-е место за (k_р–р) шагов. После этого столбцы с номерами k_p+1, k_p+2,…,k_n займут в матрице места с номерами р +1, р +2,…,п . Теперь такую же процедуру проделаем со строками матрицы А: строки с номерами i₁, i₂,…, i_p переставим на 1-е места за (i₁ – 1)+(i₂ - 2)+ +…+( i_p – р) шагов. После этого строки с номерами i_р+1, i_р+2,…,i_п займут места с номерами р+1, р +2,…,п . Полученную матрицу обозначим А. Её определитель

|A| = |A|. По лемме все одночлены из для |A| имеют правильные знаки. Но |A|= |A|, = ,

= , и значит, все одночлены из

имеют правильные

знаки для |A|.



Замечания.

1. Как и для разложения определителя по фиксированным р столбцам в формуле (5.2), имеет место аналогичное разложение по фиксированным р строкам, которое получается из (5.2) транспонированием.

2. Разложения определителя по произвольному столбцу (или произвольной строке) является частным случаем разложения (5.2) при р = 1.

3. Теорема об определителе с углом нулей также является частным случаем теоремы Лапласа.

Лекция 11.