Проведение и обработка результатов однофакторного эксперимента

В простейшем случае цель эксперимента состоит в установлении функциональной зависимости y=f(x) одной величины от другой. Независимую переменную X принято называть фактором, зависимую Y – откликом, а сам эксперимент – однофакторным.

Y

X

Искомую функциональную зависимость y=f(x), определяемую по принципу наилучшего приближения к этим данным, содержащим случайные погрешности, называют уравнением регрессии.

Эксперимент состоит из совокупности опытов. Опыт заключается в многократном измерении значения отклика при фиксированном значении фактора. Количество опытов в эксперименте определяется характером искомой функциональной зависимости. В результате эксперимента получается массив пар значений X и Y.

Задача нахождения уравнения регрессии решается по экспериментальным данным в следующей последовательности:

1. Подбор вида модели.

2. Определение численных значений коэффициентов уравнения регрессии.

3. Проверка адекватности модели.

На каждом из этапов нахождения уравнения регрессии могут быть использованы как методы ручной, так и компьютерной обработки. При компьютерной обработке могут использоваться программные средства, рассчитанные на обработку данных в режиме on-line, такие как LabWindows и LabView, или более мощные, но рассчитанные на обработку в режиме off-line, такие как MATLAB.

Подбор вида модели

Подбор вида модели при ручной обработке производится по экспериментальным данным, представленным в графической форме. Подбор не может быть формализован, т.к. один и тот же набор экспериментальных данных может быть аппроксимирован несколькими видами аналитических выражений (степенным рядом, тригонометрическим рядом и т.д.).

Аналитическую зависимость необходимо искать в такой форме, чтобы:

• Запись ее была компактной, т.е. содержала бы минимальное количество членов;

• К оэффициенты были связаны с физическими или технологическими параметрами.

Пример: прямую ветвь вольтамперной характеристики полупроводникового диода аппроксимируют выражением:

где

I_d, U_d – ток и напряжение диода;

q – заряд электрона;

k – постоянная Больцмана;

T – абсолютная температура.

Эту зависимость можно было бы аппроксимировать и степенным рядом I_d=a₀+a₁*U_d+a₂*U_d²+a₃*U_d³+ . . .

Выбор вида функциональной зависимости должен производить специалист предметной области, поскольку ему в большей степени известна физическая сущность исследуемого явления и, может быть, предполагаемый характер взаимосвязи. Основной прием при подборе вида модели при ручной обработке – аппроксимация «на глаз» и подбор по справочнику подходящей аналитической зависимости.

В случае большого разброса результатов повторных измерений в опытах при "ручной" аппроксимации используется «метод контура» и «метод медианных центров» [5].

Метод контура состоит в том, что в построенном поле точек выделяют «на глаз» основное поле, которое обводят контуром (рис.11А). Точки, далеко отстоящие от основного поля, отбрасывают. По оси этого поля проводят искомую кривую. Если поле бесформенное – проводят прямую (рис.11Б).

Рис. 11

Метод медианных центров состоит в разбиении всего поля точек на несколько участков, в каждом из которых строится «медианный центр» (рис 11В,Г). Медианный центр определяется как точка пересечения вертикальной и горизонтальной линий по обе стороны от которых остается равное количество точек. Аппроксимирующую кривую строят после этого, ориентируясь на медианные центры.

Самыми употребительными классами элементарных функций являются степенные, показательные и дробно-рациональные.

Дробно- рациональные Y=(a*xm)/(bn + xn)

Дробно-рациональные функции дают очень большое разнообразие видов кривых (Рис.12)

Рис. 12

При компьютерной обработке данных можно воспользоваться готовыми программами "подгонки" аппроксимирующей зависимости. В частности, библиотекой программ математической обработки CurveFitting в MATLAB.

Программа подгонки кривых CurveFitting предоставляет следующие виды функций для аппроксимации одномерных массивов данных:

а) экспоненциальную;

б)гауссиан

в)Фурье

г)полиномиальную;

д)показательную;

е)рациональную.

ж) Произвольную нелинейную

Последняя определяет коэффициенты произвольной задаваемой пользователем аппроксимирующей функции Y=f(a, x). Коэффициенты функции ищутся методом оптимизации по критерию минимума суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от аппроксимирующей кривой.

Оценка качества подгонки кривых и окончательный выбор аппроксимирующей зависимости выполняется в программе MATLAB последовательно:

1. Выбор «хороших» моделей.

1 .1.Визуально, по степени согласованности графика полученной в результате подгонки аппроксимирующей кривой с отображенными в этом же окне графического вывода значениями y_i . Качество подгонки считается удовлетворительным, если значения y_i «вытянуты» вдоль аппроксимирующей кривой. На рис.13 приведены результаты подгонки, которые можно считать неудовлетворительными (А) и удовлетворительными (Б).

Рис. 13

2. Визуально, по графику разности между значениями y_i и вычисленными по аппроксимирующей функции значениями f(x_i). Качество подгонки считается удовлетворительным, если график разности хорошо аппроксимируется «на глаз» функцией у=0. На рис.14 приведены результаты подгонки, которые можно считать неудовлетворительными (А) и удовлетворительными (Б).

2. Выбор лучшей кривой в каждом классе аппроксимирующих зависимостей – по Adjusted R-square.

Критерием качества подгонки являются вычисляемые программой коэффициенты множественной детерминации (R-square и Adjusted R-square). Коэффициент R-square показывает насколько успешно разброс данных относительно аппроксимирующей кривой может быть объяснен наличием случайных погрешностей в данных. Максимально возможное значение R-square равно 1. Коэффициент Adjusted R-square характеризует то же самое, но учитывает количество степеней свободы дисперсий SSE (суммы квадратов отклонений значений отклика от вычисленных по аппроксимирующей функции) и SST(суммы квадратов отклонений значений отклика от среднего значения отклика). Поэтому Adjusted R-square лучше характеризует степень соответствия экспериментальных данных аппроксимирующей кривой в том случае, если мы увеличиваем степень аппроксимирующего полинома и хотим проверить, происходит ли при этом улучшение качества подгонки. Максимально возможное значение Adjusted R-square также равно 1.

SSE – sum square error

SST – sum square total,

- коэффициент, выравнивающий степень разброса данных в

опытах

n- количество результатов измерений;

m – количество членов в уравнении регрессии;

n-1 – количество степеней свободы дисперсии SSE;

n-m - количество степеней свободы дисперсии SST.

А

Б

Рис. 14

2. Окончательный выбор самой лучшей аппроксимирующей зависимости – выбрать самую простую модель из лучших с условием примерно тех же значений диапазона погрешностей экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой и RMSE (Root Mean Squared Error).

Всегда желательно уменьшить, по возможности, погрешности измерения. Основные способы:

• использование измерительной аппаратуры, имеющей более высокую точность измерения, меньший уровень шумов и помех:

• экранирование источников помех и измерительной аппаратуры;

• использование частотной и временной фильтрации.