Исходные данные Типы систем
Невосстанавливаемая резервированная система с комбинированным резервом:
Рис. 1 «Общая схема надежности невосстанавливаемой резервированной системы с комбинированным резервом»
Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью при неограниченном ремонте:
Рис. 2 «Общая схема надежности восстанавливаемой резервированной системы с дробной кратностью при неограниченном ремонте»
с нагруженным резервом
с ненагруженным резервом
с частично нагруженным резервом
Параметры
Параметр |
|
|
|
|
W |
S |
Значение |
7200 |
1 |
0.5 |
10-2 |
3 |
2 |
Расчет общих соотношений и получение расчетных формул для критериев надежности
Невосстанавливаемая резервированная система с комбинированным резервом
Решение методом дифференциальных уравнений
Рис. 3 «Схема надежности невосстанавливаемой резервированной системы с комбинированным резервом для конкретных значений количества резервных элементов»
На Рис. 3 элементы 1 – основной, элементы 2 и 3 работают в режиме горячей замены, а элементы 4 и 5 – работают в режиме холодной замены.
Определим стратегию использования комбинированного резерва следующим образом: при отказах сначала берутся элементы из горячего резерва; а потом из холодного. То есть сначала полностью исчерпывается горячий резерв, и только потом начинают использоваться элементы из холодного резерва.
Найдем вероятностные характеристики данной системы методом дифференциальных уравнений.
Для этого сначала построим вероятностный граф состояний (ВГС). За состояние примем количество неисправных элементов системы.
Рис. 4 «ВГС для надежности невосстанавливаемой резервированной системы с комбинированным резервом»
На основе ВГС, приведенного на Рис. 4, запишем систему дифференциальных уравнений:
Начальный условия для этой системы таковы:
Проведем для вышеприведенной системы уравнений в пакете Maple 7 прямое преобразование Лапласа. В результате получим следующую систему:
Решим полученную системы линейный уравнений в пакете Maple 7. В результате получим:
Для полученных выражений проведем в пакете Maple 7 обратное преобразование Лапласа. В результате получим:
Вероятность безотказной работы системы равна:
Среднее время безотказной работы равно:
Решение методом графов
Найдем вероятностные характеристики данной системы, представленной на Рис. 3 методом графов.
Вероятность работоспособности такой системы вычисляется по формуле:
,
где
Таким образом получаем, что вероятность безотказной работы такой системы вычисляется по формуле:
Теперь вычислим среднее время безотказной работы:
или
Замечание
Так как формулы для характеристик системы, полученные с помощью метода графов, не совпали с формулами, полученными с помощью метода дифференциальных уравнений, который является абсолютно точным, то в дальнейшем все расчеты и выкладки будем производить, опираясь на формулы, полученные методом дифференциальных уравнений.
К тому же метод дифференциальных уравнений позволяет определить характеристики надежности системы для любой стратегии использования комбинированного резерва.