Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x₀ (рис. 6):

Рис. 6

Из DM₀AN

AN = M₀Atg  = Dxf '(x₀) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)), при переходе от x₀ к x₀+x (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:

dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:

dy = y'(x)dx .

Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то

y' (x) = f ' (u)  u' (x).

Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)u'(x)dx = f '(u)du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно,

du = u' (x)dx.

Теорема доказана.

7. Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y')' = (f '(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается:

Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается:

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается:

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) в точке x называется выражение, обозначаемое d²y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f(x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых

x  [a;b] выполняется неравенство:

m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f(х₀) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х₀  (a;b), в которой выполняется равенство:

f(х₀) = 0.

1. Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

• f(x) непрерывна на отрезке [a;b];

• f(x) дифференцируема на интервале (a;b);

• f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f '(х₀) = 0.

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

m = M и m < M.

• Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [a;b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х₀ можно рассматривать любое значение x Î [a;b].

• Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке х₀ Î (a;b). Тогда в точке х₀ для приращения функции справедливо неравенство: y = f(х₀ + x) – f(х_о) ≤ 0, так как f(х₀) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a;b] и x такое, что х₀ +  x Î [a;b].

• Если D x > 0, то и существует

• Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a;b), то в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х₀ + 0) = f ' (х₀ – 0) = f ' (х₀) = 0.

Теорема доказана.