4. Производные показательной и степенной функций

Теорема 7. Степенная функция y = x^ (R) дифференцируема при любом xR и справедлива формула:

(x^)' =  x^{ – 1}.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x^, предполагая x > 0:

ln y = × ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x^ неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y':

Подставим в полученное равенство y = x^:

Теорема доказана.

Теорема 8. Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при любом xR и справедлива формула:

(a^x)' = a^x × ln a

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = a^x:

ln y = x ln a.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = a^x неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y':

y' = y × ln a.

Подставим в полученное равенство y = a^x :

(a^x)' = a^x × ln a

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(e^x)' = e^x × ln e или (e^x)' = e^x.

Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))^V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y = (U(x))^V(x) по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

5. Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом x(–1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x [–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения:

.

Выразим из полученного равенства y':

.

Но при .

Поэтому , так как .

Следовательно, получаем:

.

Теорема 11. Функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула:

.

Теорема 12. Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–;+) и справедлива формула:

.

Теорема 13. Функция y = arcсtg x дифференцируема при x Î(–;+) и справедлива формула:

.

Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично теореме 10.

6. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно x, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при Dx  0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx):

,

где (Dx)  0 при Dx  0.

Определение 4. Слагаемое называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

dy = y' (x) Dx .

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:

dy = y' (x) dx .

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки

возьмём x₀ = 4, приращение Dx = 0,08, и подставим в формулу:

,

где D << 0,08.