Производная функции, определение, геометрический смысл и физический смысл. Уравнение касательной и нормали. Таблица производных.

1. Определение производной, её геометрический и физический смысл:

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xD(f) и некоторое число x – такое, чтобы точка x+xD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения, найти производную функции у = .

Решение.

Dy= f(x+ Dx) – f(x) = = .

.

Ответ: .

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения:

.

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел при Dt  0:

V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t :

.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М₀ (рис. 5).

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика . Точка M(x₀+Dx; y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx  0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M₀MA: tg  = ,  – угол наклона секущей M₀ M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx 0:

 = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x₀) = tg частное значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; y(x₀)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)):

y = f(x₀) + f ' (x₀) × (x – x₀).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀;f(x₀)):

y = f(x₀) – ,

используя условие перпендикулярности прямых:

2. Примеры производных некоторых элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)

Вывод: так как ln x = log _e x, то, используя производную, для (log _a x), можно записать:

.

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, y = y(x+x) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

1. Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^)' = x^{ – 1}

3. (a^x)' = a^xln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

14. (arcctg x)' =