Свойства неопределённого интеграла
Из определений первообразной F(x) и неопределённого интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:
.
.
,
где С
– произвольная постоянная.
,
где k
= const.
Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.
Таблица основных неопределённых интегралов
Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, т.е. по заданной производной функции f(x) надо восстановить начальную функцию F(x). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с. 24) получается таблица основных интегралов.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
В формулах 1-16 С – произвольная постоянная.
Замечание. Интеграл, взятый не от любой элементарной функции, является элементарной функцией. Примерами могут служить следующие интегралы, часто встречающиеся в задачах:
– интеграл Пуассона,
– интегралы
Френеля,
– интегральный
логарифм,
– интегральный
косинус и синус.
Указанные функции существуют и имеют важное прикладное значение. Для этих функций составлены таблицы значений.
Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
а) Работа с таблицей: предложенный интеграл оказался одним из табличных интегралов. В этом случае требуется безошибочно найти соответствующую формулу таблицы основных интегралов и ею воспользоваться.
Пример 1.
1.
(формула 14)
2.
(формула 16)
б) Метод разложения: предложенный интеграл после применения линейных свойств (4 и 5) неопределённого интеграла заменяется на алгебраическую сумму табличных интегралов.
Пример 2.
Ответ:
.
Пример 3.
Ответ:
.
Пример 4.
Ответ:
в) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счёт преобразований под знаком дифференциала. При этом используют следующие формулы:
d(j(x)) = j'(x)dx;
и
т.д.
Далее используют тот факт, что если известен результат
,
то равенство
будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = j(x).
Пример 5.
Ответ:
.
Пример 6.
.
Ответ:
.
Пример 7.
Ответ:
.
Пример 8.
.
Ответ:
.
Пример 9.
.
Ответ:
.
Интегрирование подстановкой
Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.
Теорема 1.
Если не удаётся найти интеграл
непосредственно, то можно выбрать такую
функцию x
= j(t),
удовлетворяющую условиям:
1) j(t) непрерывна при t (;), соответствующем интервалу xÎ (a;b),
2) дифференцируемая при tÎ (;);
3) имеет обратную функцию t = j–1(x),
чтобы
, t
= j–1(x)
стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = (x).
Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.
Пример 10.
.
Ответ:
.
Пример 11.
.
Ответ:
.
Пример 12.
.
Ответ:
.
Пример 13.
.
Ответ:
.