Интегральное исчисление функции одной переменной неопределенный интеграл

1. Первообразная функция и её свойства

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f(x).

Пример 1. Функция F (x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (– ; +), так как

F’(x) = (sin x) ' = cos x = f(x) для x  (– ¥;+¥).

Нетрудно убедиться, что функции F₁(x) = sin x + 5 и F₂(x) = sin x – 10 также являются первообразными функции f(x) = cos x для всех (– ¥;+¥), т.е. если для функции f(x) на некотором промежутке существует первообразная функции, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f(x) есть множество, которое задаётся формулой F(x) + C, где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной). Пусть F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на интервале (a;b). Тогда любая другая первообразная для функции f(x) на интервале (a;b) представлена в виде F(x) + C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F(x) + C также является первообразной для функции f(x) на интервале (a;b).

По условию теоремы F(x) на интервале (a;b) является первообразной для функции f(x), поэтому выполняется равенство:

F '(x) = f(x) при любом xÎ (a;b).

Так как С – некоторое число, то

(F(x) + С) ' = F '(x)+С ' = F '(x) + 0 = f(x).

Отсюда следует: (F(x) + С)' = f(x) при любом xÎ (a;b), а значит F(x) + С на интервале (a;b) является первообразной для функции f(x).

Во-вторых, проверим, что если F(x) и Ф(x) – две первообразные для функции f(x) на интервале (a;b), то они различаются между собой на постоянную величину, т.е. F(x) – Ф(x) = const.

Обозначим (x) = F(x) – Ф(x). Так как по предположению функции F(x) и Ф(x) первообразные на интервале (a;b) для функции f(x), то выполняются равенства: F '(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x) при любом xÎ (a;b). Следовательно, '(x) = F '(x) – Ф' (x) = f(x) – f(x) = 0 при любом xÎ (a;b).

Функция (x) непрерывна и дифференцируема при xÎ (a;b). Значит, на любом отрезке [x₁; x₂]  (a; b) функция (x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î(x₁; x₂), для которой выполняется равенство:

(x₂) – (x₁) = ' ( ) (x₂ – x₁) = 0(x₂ – x₁) = 0

 (x₂) – (x₁) = 0  (x₂) = (x₁)  (x) = const.

Значит, F(x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на интервале (a;b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной.

2. Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на интервале (a;b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

В обозначении знак называется знаком интеграла, – подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a;b), то она имеет на промежутке (a;b) первообразную и неопределённый интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f(x).