6. Задачи для самостоятельного решения
В каждой из следующих задач 1-3 требуется доказать сформулированное в ней утверждение о выпуклом многограннике, а также сформулировать и решить двойственную задачу.
1. Если все грани многогранника - треугольники, то число граней четное. Кроме того, в этом случае P = 3B - 6, Г = 2B - 4.
2. Если Г3 = Г4 = 0, то B3 20.
3. Если каждая пара вершин многогранника соединена ребром, то сам многогранник является тетраэдром.
4. Многогранник имеет пять граней. Каким может быть число его вершин и число его ребер?
5. Докажите теорему Декарта: сумма всех плоских углов всех граней выпуклого многогранника равна 2(B - 2). Это аналогия со случаем плоского многоугольника, у которого сумма всех углов равна (B - 2).
6. Футбольный мяч шьется из кусков кожи двух типов: пятиугольных и шестиугольных (которые, кроме формы, отличаются еще и цветом). Можно ли сшить мяч из одних только шестиугольных кусков?
7. Решения задач
1. Из условия задачи и из равенства (11) имеем 2P = 3Г, откуда следует первое утверждение. Исключая из равенств B - P + Г = 2 и 2P = 3Г сначала Г, затем P, получим требуемые равенства. Двойственная задача: если каждая вершина имеет степень 3, то число вершин четное.
2. Складывая равенства (14) и (15), получим
B3 + 4Г3 + 2Г4 + Г5 = 20 + Г5 + ..., (19)
где многоточие заменяет некоторые невыписанные неотрицательные члены, не содержащие чисел B3 и Г5. Если Г3 = Г4 = 0, то равенство (19) дает B3 20 (пример - додекаэдр). Двойственная задача: если B3 = B4 = 0, то Г3 20.
3. Из каждой вершины выходит B - 1
ребер. Поэтому общее число ребер равно
.
Равенство (11) дает нам 3Г 2P.
Подставим в это неравенство
вместо
P и
вместо
Г (используя формулу Эйлера), тогда
получаем
или
B2 - 7B + 12 0.
Среди целых чисел решениями этого неравенства являются только B = 3 и B = 4.Так как многогранник не может иметь три вершины, то B = 4, т. е. многогранник является тетраэдром. Двойственная задача: если каждые две грани имеют общее ребро, то многогранник является тетраэдром.
4. Из неравенства 3Г 2P
следует
,
т. е. P 8. Из
формулы Эйлера получаем B = P - 3.
Тогда двойственное неравенство 3B 2P
дает 3(P - 3) 2P,
или P 9.
Итак, допустимы только два значения:
P = 8 и P = 9. В первом
случае из формулы Эйлера получаем B = 5,
во втором B = 6. Многогранником,
у которого Г = 5, P = 8,
B = 5, является, например,
четырехугольная пирамида. Многогранником,
у которого Г = 5, P = 9,
B = 6, является, например,
треугольная призма.
5. Пусть Г - общее число граней, и пусть n1 - число ребер (или углов) у первой, n2 - такое же число у второй, ..., n - такое же число у последней грани. Сумма всех углов всех граней равна
S = (n1 - 2) + (n2 - 2) + ... + (n - 2) = (n1 + n2 + ... + n - 2Г).
Далее, общее число ребер у всех граней
равно
,
и это число равно числу P ребер
многогранника. Отсюда S = (2P - 2Г).
Заменяя P - Г по формуле
Эйлера на B - 2, получаем
S = 2(P - 2).
6. Мяч можно рассматривать как сферу, разбитую на сферические грани - многоугольники. При этом выполнены соотношения (1), (8)-(11) и все следствия из них, в частности, неравенство (16). Из него заключаем, что мяч нельзя сшить только из шестиугольных кусков.