Вопрос 29. 1.1. Правило Лопиталя. Правило говорит, что если функции и обладают следующим набором условий:

1. или ;

2. ;

3. в некоторой окрестности точки ,

тогда существует .

Вопрос 30. 1.1. Функция f (x) возрастает (убывает) в точке x = c , если найдется такая

окрестность точки c , в пределах которой f (x) > f (c) при x > c и f (x) < f (c) при x < c (f (x) < f (c) при x > c и f (x) > f (c) при x < c ).

1.2. Если функция f (x) дифференцируема в точке c и f ‘(c) > 0 (f ‘(c) <0), то эта

функция возрастает (убывает) в точке c .

1.3. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале   функция f (x) не убывала

(не возрастала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции

была неотрицательной (неположительной) на этом интервале.

Если всюду на интервале a,b производная функции f (x) положительная (отрицательная),

то функция на этом интервале строго возрастает (строго убывает).

Вопрос 31. 1.1. Для отыскания у дифференцируемой функции точек

возможного экстремума следует найти все корни уравнения f ‘(x) = 0 .

Точки, в которых производная функции f (x) обращается в нуль, называются

стационарными точками.

1.2. Теорема (первое достаточное условие локального экстремума). Пусть точка x = c

является точкой возможного экстремума функции f (x), и пусть функция f (x) дифференцируема

всюду в окрестности точки c . Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f ‘(x)

положительна слева от точки c и отрицательна справа от точки c , то функция f (x) имеет в этой

точке локальный максимум. Если же производная f ‘(x) отрицательна слева от точки c и

положительна справа от точки c , то функция f (x) имеет в этой точке локальный минимум. В

случае, когда производная f ‘(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки c , то точка c

не является точкой локального экстремума.

Теорема (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть точка x = c

является точкой возможного экстремума функции f (x), и пусть функция f (x) имеет в точке c

конечную вторую производную. Тогда точка c является точкой локального максимума, если

f ‘’(c) < 0 , и минимума, если f ‘’(c) >0.

1.3. Теорема. Пусть функция f (x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c ,

за исключением, быть может, самой точки c , и непрерывна в точке c . Тогда, если в пределах

указанной окрестности производная f ‘(x) положительна (отрицательна) слева от точки c и

отрицательна(положительна) справа от точки c , то функция f (x) имеет в этой точке локальный

максимум (минимум).

1.4. Наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве называется значение

функции в точке x0 , принадлежащей этому множеству, если для любого x справедливо

неравенство f (x0 ) ≥ f (x) (f (x0 ) ≤ f (x)).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называют также глобальным максимумом

(минимумом).

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке . Тогда согласно второй теореме

Вейерштрасса функция достигает на этом отрезке своих точной верхней и нижней граней, то есть

найдутся точки, принадлежащие этому отрезку, в которых функция принимает наибольшее и

наименьшее значение. Причем наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в

точке локального экстремума, либо в граничной точке, то есть

где ci — точки локальных экстремумов на отрезке .