Вопрос 3. 1.1 Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по

определенному закону некоторое вещественное число xn , то множество занумерованных чисел

x1 , x2 , ..., xn , ... называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа xn называются элементами или членами последовательности.

1.2. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого

положительного числа A найдется номер N(A), зависящий от A, такой, что для всех номеров

n ≥ N справедливо неравенство > A. Последовательность , предел которой равен нулю , называется бесконечно малой.   Последовательность x_n = 1/n является бесконечно малой последовательностью.

Последовательности n, 2ⁿ являются бесконечно большими.

Вопрос 4. 1.1. Суммой (разностью) двух последовательностей и называется

последовательность , все элементы которой равны сумме (разности) xn + yn ( xn - yn ).

1.2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

1.3. Произведением двух последовательностей и называется последовательность

= , частным — последовательность = .

Вопрос 5. 1.1. Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x_n-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x_n}.

1.2. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех c номерами справедливо неравенство .

Вопрос 6. 1.3. Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

Вопрос 7. 1.1. Предельный переход в неравенствах

Теорема 6. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого

номера, удовлетворяют неравенству xn ≥b ( xn ≤ b ), то и предел a этой последовательности

удовлетворяет неравенству a >b ( a < b ).

Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с

некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn , то и их пределы удовлетворяют такому

же неравенству:

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке

, то и ее предел принадлежит тому же отрезку: .

1.2. Теорема 7 (о трех последовательностях). Пусть последовательности и сходятся

и имеют общий предел a . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы

последовательности удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn . Тогда последовательность

также сходится и имеет предел a .

Вопрос 8. 1.1. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей),

если каждый последующий член последовательности не меньше (не больше) предыдущего, то есть

для всех номеров n справедливо неравенство

xn ≤ (xn ≥ ).

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

1.2 Теорема Вейерштрасса. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность

ограничена сверху (снизу), то она сходится. Теорему Вейерштрасса можно также сформулировать следующим

образом: если монотонная последовательность ограничена, то она сходится. 1.3. Число называется пределом последовательности .