2. Способы представления графов

Существует довольно большое число разнообразных способов представления графов. Однако мы изложим здесь только самые полезные с точки зрения программирования.

Матрица смежности

Матрица смежности Sm - это квадратная матрица размером NxN (N - количество вершин в графе), заполненная единицами и нулями по следующему правилу:

Если в графе имеется ребро e, соединяющее вершины u и v, то Sm[u,v] = 1, в противном случае Sm[u,v] = 0.

Заметим, что данное определение подходит как ориентированным, так и неориентированным графам: матрица смежности для неориентированного графа будет симметричной относительно своей главной диагонали, а для орграфа - несимметричной.

Задать взвешенный граф при помощи матрицы смежности тоже возможно. Необходимо лишь внести небольшое изменение в определение:

Если в графе имеется ребро e, соединяющее вершины u и v, то Sm[u,v] = ves(e), в противном случае Sm[u,v] = 0.

Это хорошо согласуется с замечанием, сделанным в предыдущем пункте: невзвешенный граф можно интерпретировать как взвешенный, все ребра которого имеют одинаковый вес 1.

Небольшое затруднение возникнет в том случае, если в графе разрешаются ребра с весом 0. Тогда придется хранить два массива: один с нулями и единицами, которые служат показателем наличия ребер, а второй - с весами этих ребер.

В качестве примера приведем матрицы смежности для трех графов, изображенных на рис. 5, рис. 6 и рис. 7 (см. табл. 8).

Таблица 8. Примеры матриц смежности
	a	b	c	d	f		1	2	3	4	5		a	b	c	d
a	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	a	0	1	10	0
b	1	0	1	1	1	2	0	0	0	0	0	b	1	0	2	10
c	1	1	0	1	1	3	1	1	0	0	1	c	10	2	0	3
d	0	1	1	0	1	4	0	0	1	0	0	d	0	10	3	0
f	0	1	1	1	0	5	0	0	0	0	0

Удобство матрицы смежности состоит в наглядности и прозрачности алгоритмов, основанных на ее использовании. А неудобство - в несколько завышенном требовании к памяти: если граф далек от полного, то в массиве, хранящем матрицу смежности, оказывается много "пустых мест" (нулей). Кроме того, для "общения" с пользователем этот способ представления графов не слишком удобен: его лучше применять только для внутреннего представления данных.