Пример моделирования простейшей системы

Сложность задачи часто диктует тот способ представления модели, который будет использоваться при её описании. Рассмотрим простейшую задачу.

Задача. Пусть два объекта (например, автобус и пешеход), находящиеся в начальный момент времени на расстоянии D друг от друга, движутся навстречу со скоростями V₁ и V₂ соответственно. Необходимо узнать: когда и где встретятся эти объекты?

Аналитический явный способ

Эта модель весьма далека от реальности. Идеализация заключается в том, что дорога считается идеально прямой, без уклонов и подъёмов, скорости объектов считаются постоянными, желания объектов не меняются, силы безграничны, отсутствуют помехи для движения, модель не зависит от величин D, V₁, V₂. Что-либо изучить на ней представляется проблематичным, так как из неё можно найти только время и место встречи: T₁ =D/(V₁+V₂)

S₁ =V₁·T₁

Но за счёт большой идеализации получается очень простая модель, которая может быть разрешена в общем виде (аналитически).

Аналитический неявный способ

Получим связь переменных в виде системы уравнений.

T₁·(V₁ + V₂) = D

S₁ = V₁·T_1.

Теперь можно формулировать целый ряд произвольных задач, например так: T₁ = ? Или так: S₂ = ?

При этом задачи формулируются пользователем и не предусматриваются специально при моделировании. Это более качественная модель: идеализация её велика, но за счёт неявной формы записи появилась возможность изменения задачи.

Имитационный алгоритмический способ

Процесс берётся не в целом, а по шагам. Время (переменная t) отслеживается счётчиком с шагом h. Идея имитации – продвигать автобус и пешехода на величину V·h на каждом шаге, где h – достаточно малая величина. Повторяя пошагово расчёт в цикле, на каждом этапе работы алгоритма будем имитировать течение процесса. Поскольку мы рассматриваем множество актов движения по отдельности, можно по ходу менять все переменные модели.

Например, если автобус достиг остановки (S₁ = S_ост), то V = 0 на 2 минуты. Остановка процесса имитации определяется суммой путей, пройденных автобусом и пешеходом навстречу друг другу, и сравнением её с расстоянием D.

И митационная статистическая постановка задачи

Главное отличие имитационных моделей от аналитических состоит в том, что имитационную модель можно постепенно усложнять, не теряя результативности модели. Усложним задачу, введя в неё дополнительное условие. Представим, что на пути автобуса встретится помеха – шлагбаум, который работает по случайному закону. Если шлагбаум закрыт, а автобус находится менее чем за 5 метров от шлагбаума, то он вынужден остановиться (пешеход, кстати, может шлагбаум и обойти, не теряя скорости, лишь бы жив остался).

Промоделировать случайную работу шлагбаума можно с помощью генератора случайных чисел. В различные моменты времени он будет выдавать случайное число r = 0 или r = 1, это будет означать, что шлагбаум закрыт или, соответственно, открыт.

Поскольку алгоритм использует случайные числа в качестве исходных данных, придётся сделать несколько экспериментов и найти средние значения выходных величин. Результат одного эксперимента случаен и ни о чем не говорит. Среднее значение более информативно. Ещё более информативны сведения о среднем значении и разбросе значений вокруг него (дисперсии).

Обратная задача

С какой скоростью надо бежать человеку, чтобы встретиться с автобусом на остановке, находящейся на расстоянии P от его дома?