Моделирование случайной величины с заданным законом распределения

Основные сведения о законах распределения случайных величин можно найти в приложении 3. Так как законы распределения вероятности событий могут быть различными, приходится превращать равномерный ГСЧ в генератор случайных чисел с заданным законом распределения.

Метод ступенчатой аппроксимации

П усть f(x) на рис. 13 – это распределение вероятности. h_i – высота i-го столбца, пропорционально вероятности появления значений x из интервала .

Операция нормировки обеспечивает равенство единице суммы вероятностей всех n событий: Операцией нормировки значения h переводим в единицы вероятности:

Интервал (0;1) разбивается на n промежутков разной длины (длина i-го промежутка равна ). Считается, что случайная величина приняла значение , если сгенерированное датчиком число попало в i-й интервал.

Необходимо отметить, метод огрубляет изначальную постановку задачи, т.к. внутри каждого интервала значения x неразличимы.

Метод усечения

М етод используется в случае, когда функция задана аналитически (в виде формулы). График функции вписывают в прямоугольник (см. рис. 14) На оси X и Y подают случайные равномерно распределенные числа в диапазонах и , соответственно.

Если точка в пересечении этих двух координат лежит ниже кривой плотности вероятности, то событие X произошло, иначе нет.

Моделирование нормально распределенных случайных величин

Естественно, при моделировании нормально распределенной случайной величины можно воспользоваться общими методами (методом усечения, например). Но для нормального закона разработаны отдельные эффективные методы моделирования.

1. Использование центральной предельной теоремы.

Общая идея метода следующая: требуется сложить случайные числа с любым законом распределения, нормализовать их и перевести в нужный диапазон нормального распределения.

Допустим, надо получить ряд случайных чисел x, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием m_x и среднеквадратичным отклонением σ_x.

А. Сложим n случайных чисел, используя стандартный ГСЧ:

Согласно центральной предельной теореме числа V образуют ряд значений, распределенный по нормальному закону. Эти числа тем лучше описывают нормальный закон, чем больше параметр n (на практике n берут равными 6 или 12). Закон распределения чисел V имеет математическое ожидание

Поэтому он является смещенным относительно заданного произвольного.

Б. С помощью формулы нормализуем этот ряд. Получим нормализованный закон нормального распределения чисел Z.

В. Формулой (сдвиг на m_x и масштабирование на σ_x) преобразуем ряд Z в ряд x.

2. Метод Мюллера

Совсем простым методом получения нормальных чисел является метод Мюллера, использующий формулы:

или где r₁ и r₂ – равномерно распределенные случайные числа из диапазона [0;1].

Моделирование системы случайных величин

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Степень зависимости одной случайной величины от другой может характеризовать так называемый коэффициент корреляции который определяет степень тесноты линейной зависимости между величинами (см. рис. 15).

Если X и Y связаны функционально (одному значению X соответствует одно определенное значение Y, т.е. Y=aX+b), то (в зависимости от знака a). Если же X и Y связаны вероятностной зависимостью (зависимость веса человека от его роста, например), то , причем в случае независимых случайных величин

Алгоритм моделирования двух зависимых случайных событий

Пусть X и Y распределены по нормальному закону с определенными значениями m_x, σ_x и m_y, σ_y. Задан коэффициент корреляции двух случайных событий , т.е. Y не совсем случайно.

Тогда возможный алгоритм реализации модели будет следующим.

1. Разыгрывается шесть случайных равномерно распределен­ных на интервале [0;1] чисел; находится их сумма S. Находится нормально распределенное случайное число x по следующей формуле:

2. По формуле находится математическое ожидание m_y/x (знак y/x означает, что y будет принимать случайные значения с учетом условия, что x уже принял какие-то определенные значения).

3. По формуле находится среднеквадратическое отклонение σ_y/x.

4. Разыгрывается шесть случайных равномерно распределен­ных на интервале [0;1] чисел и находится их сумма k. Находится нормально распределенное случайное число y по формуле: .