Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
zachet_matem_2_2.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.96 Mб
Скачать

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x

 + 

y

 = 1

a

b

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

   Геометрическое значение коэффициентов AB и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси OxOyOz вектора, перпендикулярного этой плоскости.

46.Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые l1 и l2 либо совпадают, либо параллельны, либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются (т.е. не лежат в одной плоскости). Покажем, как распознать эти четыре случая. Отметим, что в первых трёх случаях прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости. 1)Прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости ⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 компланарны ⇔ их смешанное произведение равно нулю: (A1A2 s1 s2)=0 2)Прямые l1 и l2 совпадают ⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 коллинеарные, т.е. их координаты пропорциональны.

3) Прямые l1 и l2 параллельны ⇔ векторы s1 и s2 коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны, но они не коллинеарны вектору A1 A2.

4) Прямые l1 и l2 пересекаются в одной точке ⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 компланарны, т.е. (A1A2 s1 s2)=0, но векторы s1 и s2 не коллинеарны, т.е. их координаты не пропорциональны.

5) Прямые l1 и l2скрещиваются, т.е. они не лежат в одной плоскости⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 не компланарны ⇔ их смешанное произведение не равно нулю: (A1A2 s1 s2)≠0 47.Условия параллельности и ортогональности прямых на плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов   и  :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда   параллелен  .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:  .

48.Угол между прямыми на плоскости. y= , y= Обозначим через угол ψ,отсчитываемый от первой прямой ко второй в том направлении, в котором производиться кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму; ( если знаменатель 0,то прямые перпендикулярны) Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .

49.Условие параллельности 2-х прямых в пространстве.

      ,имеет вид      

1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если  k1= k2,то углы наклона прямых  к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. (Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = А,  В1 = В.) 50.Условие совпадения2-х прямых в пространстве. Если  , т.е есл и , то прямые либо совпадают:  , либо параллельны:  . Определить, какой из этих двухслучаев имеет место быть, очень просто. Если точка   лежит и на прямой  , т.е. ее координаты удовлетворяет уравнениям прямой  :  , то прямые совпадают.

51.Условие пересечения 2-х прямых в пространстве.  Если  (не перпендикулярны), то прямые либо скрещиваются, либо пересекаются. Если прямые пересекаются, то обе они лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы   компланарные ( прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  ) 52.Условие скрещивающихся прямых в пространстве. Если  (, не перпендикулярны), то прямые либо скрещиваются, либо пересекаются,когда прямые скрещиваются, векторы   некомпланарные. (прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда  )

53.Угол между прямыми в пространстве.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

   и      косинус угла между ними можно найти по формуле:

              =     .            

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]