
- •12) Скалярное произведение векторов. Определение.
- •13) Свойства скалярного произведения
- •14) Вычисление угла между векторами
- •16) Формула длины вектора в декартовом базисе.
- •18) Скалярное произведение векторов в декартовом базисе
- •19) Векторное произведение векторов. Определение.
- •20) Свойства векторного произведения.
- •24) Условия коллинеарности векторов
- •26)27) Геометрические свойства смешанного произведения
- •33) 34) Параметрическое уравнение плоскости
- •37) Параллельность плоскостей Классическое определение
- •40) Угол между плоскостями
- •43.Каноническое уравнение прямой в пространстве.
- •44.Векторное уравнение прямой в пространстве. ;
- •45.Уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
- •46.Взаимное расположение прямых на плоскости
- •49.Условие параллельности 2-х прямых в пространстве.
- •54.Условие параллельности прямой и плоскости
- •55.Условие принадлежности прямой плоскости.
- •58) Матрицы. Виды матриц.
- •59) Линейные операции над матрицами
- •69) Формула нахождения обратной матрицы
- •78) Каноническое уравнение окружности
- •100) Операция возвед.В степень к.Ч. В показательной форме
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
x |
+ |
y |
= 1 |
a |
b |
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.
46.Взаимное расположение прямых на плоскости
Прямые l1 и l2 либо совпадают, либо параллельны, либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются (т.е. не лежат в одной плоскости). Покажем, как распознать эти четыре случая. Отметим, что в первых трёх случаях прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости. 1)Прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости ⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 компланарны ⇔ их смешанное произведение равно нулю: (A1A2 s1 s2)=0 2)Прямые l1 и l2 совпадают ⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 коллинеарные, т.е. их координаты пропорциональны.
3) Прямые l1 и l2 параллельны ⇔ векторы s1 и s2 коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны, но они не коллинеарны вектору A1 A2.
4) Прямые l1 и l2 пересекаются в одной точке ⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 компланарны, т.е. (A1A2 s1 s2)=0, но векторы s1 и s2 не коллинеарны, т.е. их координаты не пропорциональны.
5) Прямые l1 и l2скрещиваются, т.е. они не лежат в одной плоскости⇔ три вектора A1 A2 ,s1 и s2 не компланарны ⇔ их смешанное произведение не равно нулю: (A1A2 s1 s2)≠0 47.Условия параллельности и ортогональности прямых на плоскости.
Условия
параллельности и перпендикулярности
двух прямых равносильны условиям
параллельности и перпендикулярности
их направляющих векторов
и
:
Две
прямые параллельны тогда
и только тогда, когда их соответствующие
коэффициенты пропорциональны,
т.е. l1 параллельна l2 тогда
и только тогда, когда
параллелен
.
Две
прямые перпендикулярны тогда
и только тогда, когда сумма произведений
соответствующих коэффициентов равна
нулю:
.
48.Угол
между прямыми на плоскости.
y=
, y=
Обозначим через угол ψ,отсчитываемый
от первой прямой ко второй в том
направлении, в котором производиться
кратчайший поворот от первого базисного
вектора ко второму;
(
если знаменатель 0,то прямые перпендикулярны)
Две прямые параллельны, если k1 =
k2 .
Две прямые перпендикулярны, если k1 =
-1/ k2 .
49.Условие параллельности 2-х прямых в пространстве.
,имеет
вид
1)Если
прямые параллельны, то они образуют с
осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые
коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно,
если k1=
k2,то
углы наклона прямых к оси OX одинаковы,
откуда следует, что данные
прямые параллельны. Условием параллельности
2-х прямых яв-ся равенство их угловых
коэффициентов.
(Прямые
Ах + Ву + С = 0 и А1х
+ В1у
+ С1 =
0 параллельны, когда пропорциональны
коэффициенты А1 = А,
В1 = В.)
50.Условие
совпадения2-х прямых в пространстве.
Если
,
т.е есл
и ,
то прямые либо
совпадают:
,
либо параллельны:
.
Определить, какой из этих двухслучаев
имеет место быть, очень просто. Если
точка
лежит
и на прямой
,
т.е. ее координаты удовлетворяет
уравнениям прямой
:
,
то прямые совпадают.
51.Условие
пересечения 2-х прямых в пространстве.
Если
(не
перпендикулярны),
то прямые либо
скрещиваются, либо пересекаются. Если
прямые пересекаются,
то обе они лежат в одной плоскости и,
следовательно, векторы
компланарные
( прямые пересекаются
в одной точке тогда и только тогда,
когда
)
52.Условие
скрещивающихся прямых в пространстве.
Если
(,
не перпендикулярны),
то прямые либо
скрещиваются, либо
пересекаются,когда прямые скрещиваются, векторы
некомпланарные. (прямые скрещиваются
тогда и только тогда, когда
)
53.Угол между прямыми в пространстве.
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида
и
косинус
угла между ними можно найти по формуле:
=
.