26)27) Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов   равен объему   параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение   положительно, если тройка векторов   — правая, и отрицательно, если тройка   — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение   равно нулю тогда и только тогда, когда векторы   компланарны:

 векторы   компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:  , где   — угол между векторами   и  . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади   параллелограмма, построенного на векторах   и  : . Поэтому  . Алгебраическое значение   длины проекции вектора  на ось, задаваемую вектором  , равно по модулю высоте   параллелепипеда, построенного на векторах   (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему   этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла  . Если тройка   правая, то   и смешанное произведение   положительно. Если же тройка   левая, то   и смешанное произведение   отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство   возможно в трех случаях:   или   (т.е.  ),или   (т.е. вектор   принадлежит плоскости векторов   и  ). В каждом случае векторы   компланарны 

27)Смешанное произведение 3 векторов численно равно объёму параллелепипеда построенному на векторах a,b,c взятому со знаком + , если тройка векторов правая то знак + , если левая то - .

28) 1/6 от объёма параллелепипеда

29) Векторы называются комлонарными , если лежат в одной плоскости

• 30) Первое условие компланарности именно для трех векторов – это наличие среди трех имеющихся векторов хотя бы одного такого, который был бы нулевым.

• Вторым условием является наличие в тройке векторов пары векторов, которые являются компланарными и делают компланарной всю тройку.

• Третье условие компланарности логично вытекает из основного, принятым нами за условно базовое определение: линейная зависимость для тройки векторов определяет компланарность этой тройки согласно тому, что компланарность сама по себе и есть такая линейная зависимость. (a x b ) * c = 0 :D

33) 34) Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве   заданы:

а) точка  ;

б) два неколлинеарных вектора  (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам   и проходящей через точку 

Выберем на плоскости произвольную точку  . Обозначим     -радиус-векторы точек   и   (рис.4.16).

Точка   принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы     и   компланарны . Запишем условие компланарности:   где   — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что  получим векторное параметрическое уравнение плоскости:

где   — направляющие векторы плоскости, а   — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения называется параметрическим уравнением плоскости:

где   и   — координаты направляющих векторов   и   соответственно. Параметры   в уравнениях , имеют следующий геометрический смысл: величины   пропорциональны расстоянию от заданной точки   до точки  принадлежащей плоскости. При   точка   совпадает с заданной точкой  . При возрастании   (или  ) точка   перемещается в направлении вектора   (или  ), а при убывании   (или  ) — в противоположном направлении.

35)A * x + B * y + C * Z = D – координатное уравнение плоскости или общее уравнение плоскости

36) x/a + y/b + z/c = 1 – уравнение плоскости . Где а , b , с это отрезки , которые отсекают плоскость на координатные оси.