1.4 Функция распределения случайной величины

Все рассмотренные способы задания закона распределения случайной величины являются неприемлемыми тогда, когда случайная величина имеет слишком много значений, которые невозможно перечислить. Для исследования закона распределения вероятностей произвольной случайной величины Х можно использовать не вероятность события Х = х, а вероятность события Х < х, где х – некоторое действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта примет значение, которое будет меньше числа х, является функцией аргумента х.

Определение 1.10 Функцией распределения случайной величины Х называется функция F_x(x) действительной переменной х  (-; ), равная вероятности того, что Х принимает значения, меньшие числа х.

Таким образом, функция распределения случайной величины Х определяется следующим соотношением:

F_x(x) = P(X < x), x (-; ).

В дальнейшем вероятностную функцию распределения F_x(x) мы будем называть теоретической. Иногда вместо термина «функция распределения» используется равнозначный термин «интегральная функция распределения».

Пример 1.5 Обозначим через Х число нечетных цифр в произвольном четырехзначном номере. Найдем функцию распределения случайной величины Х и построим ее график.

Очевидно, что случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность выбора одной нечетной цифры равна 0,5, вероятность выбора четной цифры также равна 0,5. Вычислим вероятности соответствующих значений.

р₀ = Р(Х = 0) = С₄⁰ (0,5)⁰ (0,5)⁴ = 0,0625

р₁ = Р(Х = 1) = С₄¹ (0,5)¹ (0,5)³ = 0,2500

р₂ = Р(Х = 2) = С₄² (0,5)² (0,5)² = 0,3750

р₃ = Р(Х = 3) = С₄³ (0,5)³ (0,5)¹ = 0,2500

р₄ = Р(Х= 4) = С₄⁴ (0,5)⁴ (0,5)⁰ = 0,0625

Суммирование вероятностей подтверждает условие нормированности распределения.

Пусть x  (-; 0], тогда

F_x(x) = P(X < x) = P(X < 0) = 0.

При x  (0; 1] имеем

F_x(x) = P(X < x) = P(X < 1) = Р(X = 0) = 0,0625.

При x  (1; 2] имеем

F_x(x) = P(X < x) = P(X < 2) = P(X = 0) + Р(Х = 1) =

= 0,0625 + 0,2500 = 0,3125.

При x  (2; 3] имеем

F_x(x) =Р(X < x) = P(X < 3) = P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,0687.

При x  (3; 4] имеем

F_x(x) = P(X < x) = P(X < 4) =

= P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х =3) = 0,9375.

Наконец, при x (4; ) имеем

F_x(x) = P(X < x) =

= P(X = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 1.

В итоге получается следующее выражение функции распределения:

Построим график этой функции.

Рисунок 1.2 – График функции распределения числа

четных цифр в произвольном четырехзначном номере

■

В общем случае функция распределения любой дискретной случайной величины Х находится по формуле:

F_x(x) = Σ P (X = x_i),

x_i < x

то есть суммируются вероятности всех значений случайной величины, которые являются меньшими числа х.

Напомним основные свойства функции распределения.

1. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть

F_x (x₁) ≤ F_x(x₂) при x₁ < x₂.

2. Справедливы следующие равенства:

lim F_x(x) = 0 и lim F_x(x) = 1.

x→ -  x→ + 