1 Первичная обработка статистических данных

1. Генеральная совокупность и случайная выборка

Возможность использования методов математической статистики для решения практических задач технического, экономического, социологического, медицинского, политического и любого другого содержания обусловлена тем, что математические результаты доказываются и формулируются в самом общем виде. Для понимания и применения результатов любой математической теории необходимо изучение языка, или терминологии. В теории математической статистики исследуются отношения не между конкретными предметами действительности, а между абстрактными математическими объектами, или элементами. Рассмотрим описание базисных понятий и допущений математической статистики, которые необходимы для дальнейшего изложения материала.

Определение 1.1 Генеральной совокупностью называется множество, состоящее из всех однородных элементов, которые подлежат исследованию относительно определенного свойства.

Для каждой конкретной задачи определяется соответствующая генеральная совокупность и перечисляются все ее возможные элементы. Объединение элементов в генеральную совокупность происходит в соответствии с целью исследования. Например, при исследовании продолжительности горения электрических ламп генеральную совокупность составляют все электрические лампы; при исследовании влияния повышенных доз радиации на здоровье человека все граждане, подвергнувшиеся радиоактивному облучению, составляют генеральную совокупность. В каждом конкретном случае элементами генеральной совокупности могут быть предметы, люди, животные, города, числа и другие, реально существующие объекты. Но могут быть и воображаемые, или мысленно возможные генеральные совокупности, например, такую совокупность образуют предполагаемые результаты измерений какой-либо физической величины или гипотетические промышленные изделия, которые будут выпущены в будущем.

Генеральные совокупности могут быть конечными или бесконечными. Бесконечную генеральную совокупность можно рассматривать тогда, когда число элементов, подлежащих определенному исследованию, неограниченно возрастает.

Определение 1.2 Статистическим экспериментом называется планируемая осуществляемая процедура для исследования определенного свойства генеральной совокупности.

Статистический эксперимент часто называют другими словами: опыт, наблюдение или просто эксперимент. Предполагается, что эксперимент может многократно повторяться при относительно одинаковых условиях. Самым лучшим способом исследования генеральной совокупности является тот, при котором тщательно рассматривается каждый элемент генеральной совокупности.

Определение 1.3 Исследование каждого элемента генеральной совокупности называется переписью.

Наиболее известной формой переписи является перепись населения. Обследование каждого элемента генеральной совокупности даёт возможность получить самую полную информацию для её анализа. Однако условия для проведения переписи генеральной совокупности осуществляются достаточно редко по ряду причин. В общем случае это невозможно тогда, когда ее элементы существуют только гипотетически либо претерпевают бесконечные изменения в процессе исследования. Кроме того, для проведения переписи может потребоваться слишком много времени или цена переписи может оказаться очень высокой. Чаще всего единственным способом исследования генеральной совокупности является так называемый выборочный метод, когда обследованию подвергается лишь часть элементов совокупности.

Определение 1.4 Выборкой называется любое подмножество генеральной совокупности.

Идея выборочного метода состоит в том, чтобы выявлять определенные закономерности генеральной совокупности на основе исследования свойств её выборки. Преимущество выборочного метода состоит в том, что при сокращении времени и уменьшении затрат он позволяет получить значимую информацию тогда, когда полное обследование генеральной совокупности невозможно.

Любая выборка представляет собой как бы уменьшенную, хотя и не совсем точную копию генеральной совокупности. Очевидно, что выборка должна наиболее полно отражать существенные свойства всей генеральной совокупности, то есть должна быть репрезентативной. В репрезентативной выборке исследуемые свойства генеральной совокупности проявляются в такой же пропорции и с такой же частотой, с которой они представлены во всей совокупности. Именно репрезентативность выборки даёт возможность обобщить её свойства на всю генеральную совокупность.

Главным признаком непрезентативности выборки является нарушение условия объективной случайности выборочного процесса. Например, экзамен является конкретной формой применения выборочного метода. Целью семестрового экзамена является оценивание знаний студентов по определенному учебному предмету. Как правило, на экзамене студент отвечает лишь на несколько вопросов, которые касаются небольшой части изучаемого курса. При соблюдении случайного выбора билета преподаватель достаточно точно может оценить знания студента по этому предмету. Если бы студент сам выбирал только те вопросы, которые он знает, то адекватность оценки его знаний была бы сомнительной.

Определение 1.5 Случайной выборкой из генеральной совокупности называется выборка, образованная таким способом, при котором каждый элемент генеральной совокупности имеет равную вероятность быть выбранным.

Отсюда следует, что все случайные выборки объема n из данной генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть выбранными. В дальнейшем мы будем рассматривать только случайные выборки, называя их кратко выборками.

Определение 1.6 Число элементов генеральной совокупности или выборки называется объемом генеральной совокупности или выборки, соответственно.

Очевидно, что чем больше объем выборки, тем точнее она отражает свойства генеральной совокупности. Известно, что предельная ошибка выборки относительно всей совокупности обратно пропорциональна квадрату объёма выборки n. Это означает, что при необходимости удвоения точности выборки её объём должен быть увеличен в 2² = 4 раза. В математической статистике принято считать большим объём выборки, содержащей более 30 элементов (n > 30). Методы исследования малых и больших выборок могут существенно отличаться.