2.6 Асимметрия и эксцесс

В математической статистике для выяснения геометрической формы плотности вероятности случайной величины используются две числовые характеристики, связанные с центральными моментами третьего и четвертого порядков.

Определение 2.22 Коэффициентом асимметрии выборки x₁, x₂, …, x_n называется число , равное отношению центрального выборочного момента третьего порядка к кубу стандартного отклонения S:

.

Так как и , то коэффициент асимметрии выражается через центральные моменты следующей формулой:

Отсюда получается формула, выражающая коэффициент асимметрии через начальные моменты:

,

которая облегчает практические вычисления.

Соответствующая теоретическая характеристика вводится с помощью теоретических моментов.

Определение 2.23 Коэффициентом асимметрии случайной величины X называется число равное отношению центрального момента третьего порядка к кубу стандартного отклонения :

.

Если случайная величина X имеет симметричное распределение относительно математического ожидания μ, то её теоретический коэффициент асимметрии равен 0, если же распределение вероятностей несимметрично, то коэффициент асимметрии отличен от нуля. Положительное значение коэффициента асимметрии говорит о том, что большая часть значений случайной величины расположена правее математического ожидания, то есть правая ветвь кривой плотности вероятности более удлинена, чем левая. Отрицательное значение коэффициента асимметрии говорит о том, что более длинная часть кривой расположена слева. Данное утверждение иллюстрирует следующий рисунок.

 > 0

 < 0

Рисунок 2.1 – Положительная и отрицательная асимметрия

распределений

Пример 2.29 Найдем выборочный коэффициент асимметрии по данным исследования стрессовых ситуаций из примера 2.28.

Пользуясь ранее вычисленными значениями центральных выборочных моментов, получим

.

Округлим = 0,07. Найденное отличное от нуля значение коэффициента асимметрии показывает скошенность распределения относительно среднего. Положительное значение говорит о том, что более длинная ветвь кривой плотности вероятности расположена справа.

■

Особенности распределения значений случайной величины вокруг её модального значения Х_мод характеризует следующая постоянная.

Определение 2.24 Эксцессом выборки x₁, x₂, …, x_n называется число , равное

,

где – выборочный центральный момент четвёртого порядка,

S⁴ – четвёртая степень стандартного отклонения S.

Теоретическое понятие эксцесса является аналогом выборочного.

Определение 2.25 Эксцессом случайной величины X называется число е, равное

,

где – теоретический центральный момент четвёртого порядка,

– четвёртая степень стандартного отклонения .

Значение эксцесса е характеризует относительную крутость вершины кривой плотности распределения вокруг точки максимума. Если эксцесс является положительным числом, то соответствующая кривая распределения имеет более острую вершину. Распределение с отрицательным эксцессом имеет сглаженную и более плоскую вершину. Следующий рисунок иллюстрирует возможные случаи.

Рисунок 2.2 – Распределения с положительным, нулевым и отрицательным значениями эксцессов

Пример 2.30 Вычислим значение выборочного эксцесса по данным исследования стрессовых ситуаций примера 2.28.

Возьмем найденные ранее значения центральных выборочных моментов

= 5,33745 и = 1,2704.

Так как = S², то = S⁴. Следовательно

.

После округления = 0,31 . Положительное значение эксцесса указывает на более острую вершину кривой плотности вероятности.

■

Отметим, что коэффициент асимметрии и эксцесс вместе с и стандартным отклонением S являются важными числовыми характеристиками закона распределения исследуемой величины.