Часть 2. Матричные игры с нулевой суммой 2хn и mx2
Задание:
Для заданных двух платежных матриц найти нижнюю и верхнюю цену игры.
В каждой из рассмотренных игр установит возможность решения в чистых стратегиях.
Представить графическую иллюстрацию нахождения оптимальных решений.
Найти оптимальные решения в каждой игре расчетным путем.
Игра №1
6 |
2 |
-1 |
17 |
14 |
17 |
20 |
10 |
Так как â<ă,то из этого следует,что
данная игра не имеет решения в чистых
стратегиях.Однако по теореме Дж. Фон
Неймана решение матричной игры есть
всегда,и в данном случае его следует
искать смешанных стратегиях.
Оптимальное решение для игрока Р1:
P1: ν=
Выразим вторую координату через первую:
Найдем решения по графику. Для графического отображения полученных результатов найдем крайние значения скалярных функций, подставив соответствующие значения аргументов, х1 = 0; х1 = 1.
Линии |
Аргументы |
|
x1=0 |
x1=0,4 |
|
|
14 |
10,8 |
|
17 |
11 |
|
20 |
11,6 |
|
10 |
12,8 |
Приравнивая уравнения линии l4(x1), l1(x1), найдем координату точки их пересечения, которая представляет собой оптимальную вероятность выбора первой стратегии.
Для игрока P2:
Игрок P1 выбрал только 1-ю и 4-ю стратегии. Введем новую платежную матрицу, исключив из нее неиспользуемые P1 стратегии.
ν=
17
Линия |
Аргументы |
|
y1=0 |
y2=1 |
|
g1(y1) |
17 |
6 |
g4(y1) |
10 |
14 |
Приравнивая уравнения линии g1(y1), g4(y1), найдем оптимальное относительное содержание второй стратегии игрока Р2.
Игра №2
2 |
18 |
9 |
-2 |
2 |
20 |
4 |
3 |
Нижняя
цена игры
=
3
Верхняя
цена игры
=
9
Так как â<ă,то из этого следует,что данная игра не имеет решения в чистых стратегиях.Однако по теореме Дж. Фон Неймана решение матричной игры есть всегда,и в данном случае его следует искать смешанных стратегиях.
Оптимальное решение для игрока Р2:
Выразим вторую координату через первую
Линия |
Аргументы |
|
y1=0 |
y2=1 |
|
g1(y1) |
18 |
2 |
g2(y1) |
-2 |
9 |
g3(y1) |
20 |
2 |
g4(y1) |
3 |
4 |
Приравнивая уравнения линии g2(y1) и g3(y1), найдем координату точки их пересечения, которая представляет собой оптимальную вероятность выбора второй стратегии.
Игрок P2 выбрал только 2-ю и 3-ю стратегии. Введем новую платежную матрицу, исключив из нее неиспользуемые P2 стратегии.
9 |
-2 |
2 |
20 |
P1: ν=
Выразим вторую координату через первую
Линия |
Аргументы |
|
x1=0 |
x2=1 |
|
l2(x1) |
2 |
9 |
l3(x1) |
2 |
-20 |
