
- •1. Эконометрика как наука. Предмет эконометрики.
- •2. Критерии и принципы эконометрики.
- •3. Цели и задачи эконометрики.
- •4. Введение в эконометрическое моделирование
- •5. Основные этапы эконометрического моделирования.
- •6. Функциональная, стохастическая и корреляционная зависимости.
- •7. Парная линейная регрессия.
- •8. Коэффициент корреляции.
- •9. Основные предположения регрессионного анализа.
- •10. Оценка значимости уравнения регрессии.
- •11. Коэффициент детерминации.
- •12. Множественный регрессионный анализ.
7. Парная линейная регрессия.
Линейное уравнение парной регрессии имеет вид: ŷ = b0 + b1 · x, где ŷ — оценка условного математического ожидания y; b0 , b1 — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению. Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Г(т) и мощностью пласта Дм) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в п = 10 шахтах.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
8 |
11 |
12 |
9 |
8 |
8 |
9 |
9 |
8 |
12 |
yi |
5 |
10 |
10 |
7 |
5 |
6 |
6 |
5 |
6 |
8 |
Полученная зависимость графически точками координатной плоскости. Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции. По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными Х и Y. Коэффициент bi называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) Y по X. Коэффициент регрессии У по X показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.
Поэтому
уравнение регрессии
(3.2) будем искать в виде линейного
уравнения: ŷ
= b0
+ b1
(3.3).
Согласно методу
наименьших квадратов неизвестные
параметры b0
и b1
выбираются таким образом, чтобы сумма
квадратов отклонений эмпирических
значений yi
от
значений
ŷ,
найденных
по уравнению регрессии (3.3),
была
минимальной:
.
(3.4)
Для оценки параметров bo
и
b1
возможны
и другие подходы. Например, согласно
методу
наименьших модулей следует
минимизировать сумму абсолютных величин
отклонений
.
Однако
метод наименьших квадратов существенно
проще.
Средние
величины находятся по формулам:
;
;
;
;
где n
– кол-во. Уравнение регрессии будем
искать в виде:
.
(3.12) Коэффициент b1
наз-ся выборочным коэффициентом регрессии
или просто коэффициентом регрессии Y
по X.
Y
по X.
Показывает на сколько единиц в среднем
изменяется переменная y
при увеличении переменной x
на 1.
,
где cov
– ковыряция, Sx2
– выборочная
дисперсия переменной х;
cov(x,y)
– выборочная
ковыряция.
.
8. Коэффициент корреляции.
Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим случай линейной зависимости вида (3.12). На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи Y от X является коэффициент регрессии b1, т.к. он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется Y,. Однако b1 зависит от единиц измерения переменных.
Поэтому
воспользуемся системой, которая
использует в качестве единицы измерения
переменной ее среднее
квадратическое отклонение s. Величина
(3.17) показывает, на
сколько величин Sy
изменится в среднем Y, когда X увеличится
на одно Sx.
Величина r
является показателем тесноты связи и
называется выборочным
коэффициентом корреляции (или
просто коэффициентом
корреляции).
Если
r>
0 (b1>
0), то
корреляционная связь между переменными
называется прямой,
если
г < 0 (b1
< 0), — обратной.
При
прямой (обратной) связи увеличение одной
из переменных ведет к увеличению
(уменьшению) условной (групповой) средней
другой. Тогда r
будет ровно:
.
(3.18)
Свойства коэффициента корреляции r:
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т. е. -1 ≤r≤1. Чем ближе |r| к единице, тем теснее связь.
2. При r = ±1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии
3. При r =0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Ох.