Задание 1
Двумерная линейная модель. Имеются сведения о доходности на акцию iа и значения доходности на фондовый индекс за 10 месяцев текущего года:
iI, % |
2,5 |
2,9 |
3,8 |
4,7 |
6,2 |
7,7 |
8,1 |
7,1 |
5,4 |
4,9 |
iа, акции А, % |
-1,2 |
-0,2 |
0,3 |
1,2 |
1,9 |
2,3 |
3,4 |
2,5 |
1,4 |
0,6 |
С
помощью модели двумерной линейной
регрессии построить рыночную линию
ценной бумаги
,
исследовав зависимости доходности на
акцию
от
доходности на фондовый индекс
.
Проверить значимость параметров
регрессии и соответствие модели
выборочным данным. Построить доверительные
интервалы для коэффициентов регрессии
при 5% уровне значимости.
С помощью построенной модели найти точечный и интервальный прогнозы на 11 месяц года при 5% уровне значимости.
Отобразить на графиках фактические данные и результаты расчета. Сделать выводы.
Решение
1.1. Методом наименьших квадратов найдем оценки линейного уравнения регрессии: .
Оценки параметров можно получить по формулам.
Составим расчётную таблицу.
i |
yi |
xi1 |
yi2 |
xi12 |
xi1yi |
1 |
-1,2 |
2,5 |
1,44 |
6,25 |
-3 |
2 |
-0,2 |
2,9 |
0,04 |
8,41 |
-0,58 |
3 |
0,3 |
3,8 |
0,09 |
14,44 |
1,14 |
4 |
1,2 |
4,7 |
1,44 |
22,09 |
5,64 |
5 |
1,9 |
6,2 |
3,61 |
38,44 |
11,78 |
6 |
2,3 |
7,7 |
5,29 |
59,29 |
17,71 |
7 |
3,4 |
8,1 |
11,56 |
65,61 |
27,54 |
8 |
2,5 |
7,1 |
6,25 |
50,41 |
17,75 |
9 |
1,4 |
5,4 |
1,96 |
29,16 |
7,56 |
10 |
0,6 |
4,9 |
0,36 |
24,01 |
2,94 |
Сумма |
12,2 |
53,3 |
32,04 |
318,11 |
88,48 |
Среднее |
1,22 |
5,33 |
3,20 |
31,81 |
8,85 |
Следовательно,
=
=
- зависимость доходности на акцию
от
доходности на фондовый индекс
.
1.2. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализируем тесноту линейной связи между доходностью на акцию и доходностью на фондовый индекс .
|
yi |
xi1 |
yi2 |
xi12 |
xi1yi |
Сумма |
12,2 |
53,3 |
32,04 |
318,11 |
88,48 |
Среднее |
1,22 |
5,33 |
3,20 |
31,81 |
8,85 |
Коэффициент парной корреляции определяем по формуле.
Проанализируем тесноту линейной связи:
Делаем вывод о положительной (или прямой) связи, достаточно тесной ввиду близости коэффициента корреляции к единице.
Проверим значимость коэффициентов корреляции с надёжностью 0,95.
Проверка осуществляется по формуле.
В нашем:
Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля.
1.3. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надёжностью 0,95.
Для зависимости у от х1 получаем:
R2=rx1y2=0,9712=0,943, то есть вариация доходности на акцию зависит на 78% от доходности на фондовый индекс .
Рассчитаем фактическое значение F – статистики Фишера по формуле.
В нашем случае.
для
зависимости у от х1
Табличное значение Fт=2,98 (для α=0,05)
Так как в нашем случае FФ больше Fт, то признаём статистическую значимость уравнения регрессии.
1.4. Построим доверительные полосы надёжности Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.
Доверительные
интервалы среднего значения цены для
рассчитываем по формуле.
где
- соответственно верхняя и нижняя границы
доверительного интервала в точке
;
- значение независимой переменной x1, для которой определяется доверительный интервал.
-
стандартная ошибка
;
- остаточная дисперсия уравнения
регрессии.
Рассмотрим уравнение парной регрессии.
=
=
=
Составим расчётную таблицу.
Представим полученные результаты графически.
i |
yi |
xi1 |
|
еi |
еi2 |
(xi-xср)2 |
Sy |
|
|
1 |
-1,2 |
2,5 |
-0,73 |
-0,47 |
0,22 |
5,95 |
0,19 |
-0,92 |
-0,54 |
2 |
-0,2 |
2,9 |
-0,45 |
0,25 |
0,06 |
8,07 |
0,21 |
-0,66 |
-0,24 |
3 |
0,3 |
3,8 |
0,17 |
0,13 |
0,02 |
13,99 |
0,26 |
-0,09 |
0,43 |
4 |
1,2 |
4,7 |
0,79 |
0,41 |
0,17 |
21,53 |
0,31 |
0,48 |
1,10 |
5 |
1,9 |
6,2 |
1,82 |
0,08 |
0,01 |
37,70 |
0,40 |
1,42 |
2,22 |
6 |
2,3 |
7,7 |
2,85 |
-0,55 |
0,31 |
58,37 |
0,49 |
2,36 |
3,34 |
7 |
3,4 |
8,1 |
3,13 |
0,27 |
0,07 |
64,64 |
0,52 |
2,61 |
3,64 |
8 |
2,5 |
7,1 |
2,44 |
0,06 |
0,00 |
49,56 |
0,45 |
1,98 |
2,89 |
9 |
1,4 |
5,4 |
1,27 |
0,13 |
0,02 |
28,52 |
0,35 |
0,92 |
1,62 |
10 |
0,6 |
4,9 |
0,92 |
-0,32 |
0,11 |
23,43 |
0,32 |
0,60 |
1,25 |
Сумма |
12,2 |
11,6 |
12,20 |
0,00 |
0,99 |
311,75 |
3,51 |
8,70 |
15,71 |
Среднее |
1,22 |
0,06 |
1,22 |
0,00 |
0,10 |
31,18 |
0,35 |
0,87 |
1,57 |
1.5.
=
Подставляем в модель срок 11 месяцев, получаем точечный прогноз:
=
Подставляем точечный прогноз =1,22 и в уравнения границ доверительного интервала и получаем интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,95:
=0,19
,
или
0,89%;
1,55%.
Вывод: На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о линейной зависимости доходности на акцию от доходности на фондовый индекс , методом наименьших квадратов получаем уравнение парной регрессии: = .
Коэффициент парной корреляции, равный 0,971, показывает, что между доходностью на акцию и доходностью на фондовый индекс существует тесная связь, носящая прямой характер, при этом коэффициент статистически значим, то есть существенно отличен от нуля.
В целом уравнение регрессии можно назвать статистически значимым с надёжностью 0,95.