
- •Билет 1
- •Билет 2
- •Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 6
- •Билет 7
- •Билет 8
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Верхний и нижний пределы последовательности.
- •Билет 12
- •Критерий Коши.
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Билет 16
- •Билет 19 Критерий Коши
- •Теорема
- •Классификация точек разрыва.
- •Билет 23
- •Билет 24
- •Билет 25
- •Билет 27
- •Теорема
- •Билет 28
- •Определение
- •Производная.
- •Билет 29
- •Определение
- •Теорема
- •Билет 30
- •Билет 31 Теорема
- •Билет 33 Инвариантность формы первого дифференциала.
Билет 19 Критерий Коши
Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши (для > 0 > 0, x' и x'', 0 <x' - a < , 0 <x''- a < : f(x') - f(x'') <
БИЛЕТ 20
Рассмотрим
функции α(х)
и β(х),
для которых
то
есть бесконечно малые в окрестности
х0.
Если
то α(х)
и β(х
)называются бесконечно малыми одного
порядка.
В частности, если А=1,
говорят, что α(х)
и β(х)
– эквивалентные
бесконечно малые.
Если
то α(х)
называется бесконечно малой более
высокого порядка
по сравнению с β(х).
Если
,
то α(х)
есть бесконечно малая порядка n
по сравнению с β(х).
Обозначения: α(х)=О(β(х)) – бесконечно малые одного порядка, α(х)~β(х) – эквивалентные бесконечно малые, α(х)=о(β(х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.
Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х→0, эквивалентные х: sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), ex-1.
Замечание
2. При раскрытии неопределенности вида
,
то есть предела отношения двух бесконечно
малых, можно каждую из них заменять на
эквивалентную – эта операция не влияет
на существование и величину предела.
Пример.
Таблица эквивалентных бесконечно малых:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
БИЛЕТ 21 и 22
Равномерная непрерывность функции.
Определение непрерывности, точки разрыва функции.
Определение 1:
Пусть f(x)
определена в некоторой окрестности
точки а.
f(x)
называется непрерывной в точке а
если
f(x)
= f(а)
Примеры:
f(x)
= sin
x
непрерывна в точке х
=0 , так как
sin
x
= 0, и sin
0 = 0, то есть
sin
x
= sin
0.
Рациональная
функция f(x)
=
непрерывна
в любой точке а,
в которой
(а)
0, так как было доказано, что
=
(
(а)
0).
Замечаение: Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде
f(x) = f( x).
Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.
Определение 2.
f(x) называетмя непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём = f(a). По определнию 2
> 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.
Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.
Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.
Пусть f(x)
определена на [a,
a
+ ).
Функция f(x)
называется непрерывной в точке а
справа, если
f(x)
= f(а).
(то есть f(а
+ 0) = f(а)).
Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.
Пример:
f(x) = [x].
(рисунок)
целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n) f(n - 0).
Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.