4 Многомерная безусловная оптимизация

Пусть целевая функция зависит от n проектных параметров:

Для простоты изложения условимся отыскивать экстремум целевой функции, зависящей от двух проектных параметров . Зададим координаты начальной точки M⁰(x₁₀, x₂₀)_. На первом этапе параметр зафиксируем, а x₂ будем считать переменным. Целевая функция будет зависеть только от одного параметра x₂, так что, применив к ней вышеописанный метод решения задач одномерной оптимизации, находим экстремальное значение по этому свободному параметру, то есть при фиксированном значении параметра x₁=х₁₀. На этом первый шаг заканчиваем. Взяв полученную точку в качестве начальной и приняв теперь в качестве свободного параметра , находим экстремум по этому параметру, зафиксировав, соответственно, х₂. В результате получаем конечную точку M первого этапа. Взяв её в качестве стартовой на втором этапе и повторив схему движения первого этапа, получим возможность продолжения пути на третьем этапе и т.д. Процесс следует закончить, если для двух соседних этапов: k-го и (k+1)-го выполнятся соотношения

для ,

где – точность вычислений i-го параметра. Впрочем, точность может быть одинаковой по всем параметрам.

5 Условная оптимизация при решении инженерных задач

До сих пор мы рассматривали численные методы для задач безусловной оптимизации. На практике довольно часто задача кроме целевой функции предполагает наличие дополнительных условий и становится задачей условной оптимизации. Наиболее простой случай такой оптимизации имеет вид:

т.е. для каждого проектного параметра введены граничные условия.

Такую задачу можно решить по той же схеме решения, что и для безусловной оптимизации. В том случае, когда значение переменной на k-ой итерации выходит на (или за) нижнюю границу, т.е. оказывается а , то за минимальное значение принимают а и поиск продолжается по остальным переменным. Аналогично осуществляется поиск и для верхней границы.