Вычисление площади аналитическим способом

Для определения площадей участков по результатам измерений линий и углов на местности применяют формулы геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Участки разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, прямоугольники, реже трапеции и площади участков определяют как суммы площадей отдельных фигур.

Фигура	Измеряемые элементы	Формула для вычисления площади , Р
Треугольник
	Горизонтальные проложения (SA,SB и SC) всех сторон	Формула Герона Р=0,5[(p- SA) (p- SB) (p-SC)], где p=0,5(SA+ SB+SC)-полупериметр
	Горизонтальные проложения двух сторон (SB и SC) и угол A между ними	Р=0,5 SBSC sinA
	По углам при основании (A и C) и его горизонтальному проложению (SB)	Сначала вычислить  =180- (A и C). SA = SBsinA / sun SC = SBsinC / sun , а затем применить формулу Герона.
Четырёхугольник
	Горизонтальные проложения (SAB , SBC , SCD , SDA) всех сторон и два (D и C) противоположных угла	Р=0,5 [SABSBC sinB+ + SСBSBC sinCD]
B SCD SBC SAD SAB D B C A	Горизонтальные проложения (SAB , SBC , SCD , SDA) всех сторон и один из углов - B	Площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух трегольников АВС и СDA. Площадь треугольника АВС можно вычислить по двум сторонам и углу между ними. Для определения площади треугольника CDA (по формуле Георона) сначала надо вычислить длину SAC диагонали АС S2AC = S2AC +S2AC-2 SAC SAСcosB, а потом площадь этого треугольника.
Пятиугольник
С	Горизонтальные проложения (SAB , SBC , SCD , SDE, SЕА) всех сторон и углы (B,C, E)	2P=SABSBCsinB+ SCDSDEsinD+ SDESЕАsinЕ+ SCDSEAsin(D+E-180°)
Шестиугольник
В D	Горизонтальные проложения всех сторон и углы (B, C, E, F)	2P=SABSBCsinB+ SВСSСВsinС+ SABSCD(B+C-180°)+ SDESEFsinE+ SEFSFAsin(T+F-180°)

При увеличении числа вершин целесообразно вычислять площади по координатам точек границ участка.

Площадь Р_aАВСcb многоугольника ABCcba (см.рис) определим как сумму площадей трапеций a-A-B-b ,b-B-C-c, из которой надо вычесть площадь трапеции С-с-а-А.

В указанных трапециях основаниями (правое и левое) являются приращения координат между соответствующими точками по оси абсцисс, а высотой- приращения координат между соответствующими точками по оси ординат. Так например, площадь трапеции a-A-B-b равна

Р_aAbd =0.5(aA+Bb)ab =0.5(X_A+X_B) (Y_b-Y_A) .

Исходя из этого запишем

2 Р_ABCDE = (X_A+X_B) (Y_b-Y_A) + (X_B+X_C) (Y_C-Y_B)- (X_А+X_C) (Y_C-Y_A).

Полученное выражение ,после сокращений и группировки по X и Y преобразуется к виду

2 Р_ABCDE = X_A(Y_B-Y_E) +X_B (Y_C-Y_A)+X_C(Y_D-Y_B).

Если рассматривать данный многоугольник в каком-либо направлении обхода его вершин, то из полученного выражения следует, что удвоенная площадь многоугольника равна сумме произведений абсциссы его вершины умноженной на разность ординат последующей и предыдущей вершин.

В общем случае, для «n»-угольника запишем:

_К=n

2P=  X_K (Y_K+1-Y_K-1),

^К=1

где

к - текущий номер вершины многоугольника,

X_K - абсцисса «к»-товой вершины,

Y_K+1- ордината последующей (за «к»-той) вершины,

Y_K-1 - ордината предыдущей (до «к»-той) вершины.,

при этом , если К=1, то ( К-1) = n , в случае же когда К=n , то (к+1)=1.

Аналогично можно вывести формулы:

_К=n

2P=  Y_K (X_K-1-X_K+1)

^К=1

_К=n

2P=  Y_K X_K-1,K+1, или

^К=1

_К=n

2P=  X_K Y_K+1,K-1.

^К=1

Пример вычисления площади земельного участка по координатам его вершин (поворотных точек) представлен в таблице.

Текущая точка «к»	X, м	«к+1» , «к-1» точка	Y, м	(YK+1 -YK-1)	XK(YK+1 -YK-1)

Вычисленное значение площади участка контролируют путём её повторного вычисления, например, по формуле

_К=n

2P=  X_K Y_K+1,K-1.

^К=1