3. Регрессионый анализ влияния комфортабельности и возраста судна на уровень тарифной ставки

1) Представим исходные данные в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Исходные данные

Название судна	Кк (x1)	Возраст судна (x2)	Fсут (y)
MS Dnepr	2	20	126
Star Clipper	2,35	19	144
Princess Daphne	3,1	19	205
Cultural Mosaic	3,17	16	199
Aurora	3,2	11	210
Royal Princess	3,6	10	217
MSC Armonia	4,12	10	279
Seven Seas Voyager	4,58	8	301
Fred Olsen	4,6	15	270
Seven Seas Navigator	4,65	11	289
Seven Seas Mariner	4,7	9	307
Aegean Classic	4,9	12	324
Oceania Regatta	5,1	13	343
Oceania Nautica	5,42	11	361
Insignia	5,5	13	378
Ocean Princess	5,7	13	397

2) Сформируем исходные данные исследования в матричном виде, как показано в таблицах 3.2. (a, б)

Таблица 3.2.(а) Исходные данные исследования в матричном виде

X
1	2	20
1	2,35	19
1	3,1	19
1	3,17	16
1	3,2	11
1	3,6	10
1	4,12	10
1	4,58	8
1	4,6	15
1	4,65	11
1	4,7	9
1	4,9	12
1	5,1	13
1	5,42	11
1	5,5	13
1	5,7	13

Таблица 3.2.(б) Исходные данные исследования в матричном виде

Xт
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2,35	3,1	3,17	3,2	3,6	4,12	4,58	4,6	4,65	4,7	4,9	5,1	5,42	5,5	5,7
20	19	19	16	11	10	10	8	15	11	9	12	13	11	13	13

Оценки коэффициентов многофакторной линейной регрессии определяются по формуле:

(3.1.)

Таблица 3.3. Результат произведения матриц X и Xт

XтX
16,000	66,690	210,000
66,690	297,341	836,080
210,000	836,080	2962,000

Таблица 3.4. Результат произведения матриц Xт и Y

XтY

4356

19519,54

54500

Таблица 3.5. Обратная матрица XтХ

XтX(обр)
4,642	-0,561	-0,171
-0,561	0,084	0,016
-0,171	0,016	0,008

Подставив значения в формулу, получаем:

b₀ = -36,17;

b₁ = 71,79;

b₂ = 0,69

Таким образом, уравнение регрессии примет вид:

Y* = 71,79*x₁ + 0,69*x₂ – 36,17

Дисперсия регрессии вычисляется по формуле:

(3.2.)

где e_i – абсолютные ошибки аппроксимации

e_i = Y_i – Y_i* (3.3.)

Таблица 3.6. Абсолютные ошибки аппроксимации и их квадраты

e_i(Fсут-Fсут*)	(e_i)^2
4,608	21,232
0,178	0,032
5,331	28,424
0,402	0,162
8,742	76,422
-12,277	150,736
12,389	153,483
2,760	7,620
-34,567	1194,872
-16,362	267,702
-0,554	0,307
-0,009	0,000
3,933	15,467
0,356	0,127
10,215	104,338
14,855	220,685
∑	2241,608

Тогда стандартная ошибка регрессии: S = 13,13

Дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов рассчитываются по формулам:

, (3.4.)

где - j-ый диагональный элемент матрицы (X^TX)^-1

Таблица 3.7. Дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов

S^2_b0=	800,39	S_b0=	28,291
S^2_b1=	14,502	S_b1=	3,8081
S^2_b2=	1,3652	S_b2=	1,1684

Рассчитаем соответствующие t-статистики:

(3.5.)

t_bo = -1,279

t_b1 = 18,85

t_b2 = 0,598

На первый взгляд только статистическая значимость свободного члена вызывает сомнения. Два других коэффициента имеют довольно высокие показатели t-статистики, что является признаком их высокой статистической значимости. Проанализируем эти значения более детально. При использовании таблиц критических точек возьмем уровень значимости α = 0,05. По таблице распределения Стьюдента выберем критическую точку .

Таким образом, , при α = 0,05. Эти коэффициенты статистически значимые, то есть переменная X₁ оказывает больше линейное влияние на Y, чем X₂. Так как , то b₀ не является статистически значимым и свободный член на этом этапе может не использоваться в модели. Однако наличие свободного члена в линейном уравнении может лишь уточнить вид зависимости. В экономическом смысле свободный член отображает экзогенную среду. Поэтому, если нет серьезных причин для исключения свободного члена из уравнения регрессии, то лучше его использовать в модели.

Определим 95%-ые интервалы доверия для коэффициентов

Таблица 3.8. Интервалы доверия для коэффициентов β_j

-97,2834	< β0 <	24,93469
63,57005	< β1 <	80,02113
-1,82498	< β2 <	3,22252

Рассчитаем коэффициент детерминации:

(3.6.)

Анализ статистической значимости коэффициента детерминации проводим на базе F-статистики:

(3.7.)

Для определения статистической значимости F-статистики сравним ее с соответствующей критической точкой распределения Фишера:

Так как F = 278,38 > 3,81 = F_кр , то статистика F и коэффициент детерминации R² являются статистически значимыми. Это означает значительное совместное влияние переменных X₁ и X₂ на Y. Этот вывод можно было бы сделать исходя из вида коэффициента детерминации .

На основе проведенных расчетов можно заключить, что построенное уравнение регрессии поясняет 37,4 % разброса зависимой переменной Y. Однако стоит помнить, что коэффициент детерминации может быть очень высоким и при наличии одинаковых трендов у рассматриваемых переменных. Поэтому для уверенности в его обоснованности необходимы дополнительные исследования, например, с использованием статистики Дарбина – Уотсона.

Скорректированный коэффициент детерминации:

(3.8.)

Он меньше первоначально рассчитанного коэффициента детерминации.

Рассчитаем статистику DW Дарбина – Уотсона:

(3.9.)

Для проверки статистической значимости DW воспользуемся таблицей критических точек Дарбина – Уотсона. При уровне значимости α = 0,05 и количестве наблюдений n = 16 получаем d_L = 0,982; d_u = 1,512; 4 – d_u = 2,461.

Так как 1,512 < DW < 2,461, то гипотеза про отсутствие автокорреляции не отклоняется. То есть, принимаем во внимание, что автокорреляции остатков нет.

По всем статистическим показателям модель можно признать высокого качества. У нее высокие t-статистики, но очень высокий коэффициент детерминации R². В модели отсутствует автокорреляция остатков. Все это дает основания считать построенную модель высокого уровня. Ее можно использовать для анализа и прогнозирования.

Так как коэффициент b₁ = 71,79 является статистически значимым можно утверждать, что при увеличении коэффициента комфортабельности на 1 единицу, тарифная ставка увеличивается в среднем на 71,79 $. Положительное значение коэффициента b₁ говорит о прямой связи между коэффициентом комфортабельности и тарифной ставкой.

Коэффициент b₂ = 0,698 также является статистически значимым, положительное значение говорит об обратной связи между возрастом судна и тарифной ставкой, то есть при увеличении возраста судна на 1 год, тарифная ставка уменьшается в среднем на 0,698 $.

Прогнозируемая тарифная ставка при коэффициенте комфортабельности равном 5,9 и возрасте судна равном 4 годам составит 390,21 $.

Таблица 3.9. Значение прогнозируемой тарифной ставки

Название судна	Кк (x1)	Возраст судна (x2)	Fсут (y)	Fсут*
MS Dnepr	2	20	126	121,39
Star Clipper	2,35	19	146	145,82
Princess Daphne	3,1	19	205	199,67
Cultural Mosaic	3,17	16	203	202,60
Aurora	3,2	11	210	201,26
Royal Princess	3,6	10	217	229,28
MSC Armonia	4,12	10	279	266,61
Seven Seas Voyager	4,58	8	301	298,24
Fred Olsen	4,6	15	270	304,57
Seven Seas Navigator	4,65	11	289	305,36
Seven Seas Mariner	4,7	9	307	307,55
Aegean Classic	4,9	12	324	324,01
Oceania Regatta	5,1	13	343	339,07
Oceania Nautica	5,42	11	361	360,64
Insignia	5,5	13	378	367,79
Ocean Princess	5,7	13	397	382,14
Прогноз	5,9	4	-	390,21

Полученный прогноз дополним интервальной оценкой, которую найдем по такой формуле:

_(3.10.)

Тогда при уровне значимости α = 0,05 получим:

Таким образом, среднее значение тарифной ставки Y при планируемом коэффициенте комфортабельности X₁ = 5,9 и возрасте судна X₂ = 4 с вероятностью 95 % будет находиться в интервале (369,627; 410,802).