1.5. Аналітична функція. Диференціал

Фундаментальним поняттям у теорії функцій комплексної змінної є поняття аналітичної функції.

Однозначна функція f(z) називається аналітичною (голоморфною) у точці z, якщо вона диференційовна (виконані умови Ейлера-Даламбера) у деякому околі цієї точки. Функція f(z) називається аналітичною в області D, якщо вона диференційовна в кожній точці .

Як видно з цього означення, умова аналитичності в точці не збігається з умовою диференційовності функції в цій же точці (перша умова більш сильніша).

Точки площини z, у яких однозначна функція f(z) аналітична, називаються правильними точками f(z). Точки, у яких функція f(z) не є аналітичною, називаються особливими точками цієї функції.

Нехай функція w=f(z) аналітична в точці z. Тоді . Звідси випливає, що , де при , а приріст функції можна записати так: . Якщо , то перший доданок являється при нескінченно малою того ж порядку, що і ; другий доданок є нескінченно мала вищого порядку, ніж . Отже, перший доданок складає головну частину приросту функції w=f(z).

Диференціалом dw аналітичної функції w=f(z) у точці z називається головна частина її приросту, тобто , або , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауваження. Якщо функція аналітична в деякій області D, то функції u(x;y) і v(x;y) задовольняють диференціальному рівнянню Лапласа ( ).

Дійсно, диференціюючи першу з рівностей Ейлера-Даламбера по y, а другу по x, отримаємо:

, ,

звідси .

Функції u(x;y) і v(x;y) називаються гармонічними функціями.

Приклад 3. Перевірити, чи є функція аналітичною. Знайти її похідну.

○ Знаходимо дійсну і уявну частини функції:

.

Таким чином, , . Перевіряємо умови Ейлера-Даламбера (1.5):

, ;

, .

Умови (1.5) виконуються у всіх точках комплексної площини z. Функція диференційовна, отже, аналітична у всіх точках цієї площини. Її похідну знайдемо за однією з формул (1.6), наприклад за першою:

,

тобто .

Замітимо, що похідну функції можна знайти, скориставшись означенням похідної (1.4):

. ●

Приклад 4. Знайти аналітичну функцію w=u+iv за її заданою дійсною частиною .

○ Відзначимо, що функція u є гармонічною функцією ( , , отже, ).

Для визначення уявної частини v скористаємося умовами Ейлера-Даламбера (1.5). Оскільки , то, згідно першій умові, . Звідси, інтегруючи по y, знаходимо:

.

Для визначення функції скористаємося другою умовою Ейлера-Даламбера. Оскільки

,

,

то . Звідси і , де C = const. Тому . Знаходимо функцію w=u+iv:

●

2. Інтегрування функції комплексної змінної

2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла

Нехай у кожній точці деякої гладенької кривої L з початком у точці z₀ і кінцем у точці z визначена неперервна функція f(z).

Розіб'ємо криву L на n частин (елементарних дуг) у напрямку від z₀ до z точками z₁, z₂,…,z_n-1 (див. рис. 6).

Рис. 6

У кожній «елементарній дузі» z_k-1z_k (k = 1,2,…,n) виберемо довільну точку C_k і складемо інтегральну суму , де .

Границя такої інтегральної суми при прямуванні до нуля довжини найбільшої з елементарних дуг, якщо вона існує, називається інтегралом від функції f(z) по кривій (по контуру) L і позначається символом .

Таким чином,

(2.1)

Покажемо, що якщо L – гладка крива, а f(z) – неперервна й однозначна функція, то інтеграл (2.1) існує.

Дійсно, нехай , , . Тоді

,

.

Тому

= .

Обидві суми, що знаходяться в правій частині останньої рівності, є інтегральними сумами для відповідних криволінійних інтегралів.

При зроблених припущеннях про криву L і функцію f(z) границі цих сум існують. Тому після переходу до границі (в останній рівності) при одержимо:

(2.2)

Формула (2.2) показує, що обчислення інтеграла від функції комплексної змінної зводиться до обчислення криволінійних інтегралів від дійсних функцій дійсних змінних.

Формулу (2.2) можна записати в зручному для запам'ятання вигляді:

(2.3)

Якщо x=x(t), y=y(t), де -параметричні рівняння кривої L, то z=z(t)=x(t)+iy(t) називають комплексним параметричним рівнянням кривої L; формула (2.3) перетвориться у формулу

(2.4)

Дійсно, вважаючи z(t) неперервною і диференційовною функцією, одержуємо:

Наведемо основні властивості інтеграла від функції комплексної змінної.

1. 

2. 

3. , a – комплексне число.

4. , тобто при зміні напрямку шляху інтегрування інтеграл змінює свій знак на протилежний (в інших позначеннях кривої: ) .

5. , де L=L₁+L₂, тобто інтеграл по всьому шляху L дорівнює сумі інтегралів по його частинах L₁ і L₂.

6. Оцінка модуля інтеграла. Якщо у всіх точках кривої L, то , де l – довжина кривої L.

Дійсно,

,

де - довжина ламаної z₀z₁z₂…z_n, вписаної в криву L.

Всі наведені властивості інтеграла функції комплексної змінної безпосередньо випливають з його означення (2.1) і подання (2.2).

Приклад 7. Обчислити , де L – півколо , (див. рис.7).

Розв’язання: Використовуючи формулу (2.3), маємо:

○

.

Рис. 7

Використовуючи формулу (2.4), маємо :

●