1.3.5. Тригонометричні функції

Тригонометричні функції комплексного аргументу визначаються рівностями

, , , .

При дійсних ці означення приводять до тригонометричних функцій дійсної змінної. Так, при ( )

.

Тригонометричні функції комплексної змінної зберігають багато властивостей тригонометричних функцій дійсної змінної. Зокрема,

,

,

,

,

,

,

при ( ),

,

,

,

і т.д. Доведемо, наприклад, першу властивість:

.

Відзначимо, що тригонометричні функції та у комплексній площині необмежені: , . Так, наприклад, , .

1.3.6. Гіперболічні функції

Ці функції визначаються рівностями

, , , .

Легко замітити зв'язок між гіперболічними і тригонометричними функціями. Замінюючи в зазначених функціях на , одержимо:

, чи ,

(а також , ).

Користуючись цими рівностями, можна одержати ряд формул, що пов'язують гіперболічні функції. Так, замінюючи у формулі тригонометричні функції гіперболічними, одержимо

,

або . Тому що тут - будь-яке комплексне число, то можна замінити на ; одержимо

формулу .

Наведемо ще ряд формул:

, ,

, ,

, ,

і т.д.

З означення гіперболічних функцій випливає, что функції і періодичні з періодом ; функції і мають період .

1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції

Число називається арксинусом числа , якщо , і позначається

Використовуючи означення синуса, маємо , або . Звідси , тобто (перед коренем можна не писати знак , тому що має два значення). Тоді , або . Таким чином,

.

Функція багатозначна (нескінченнозначна). Аналогічно визначаються інші обернені тригонометричні функції. Можна показати, що

,

,

.

Функції, обернені гіперболічним, позначаються відповідно (арксинус), (арккосинус), (арктангенс), (арккотангенс).

Обернені гіперболічні функції подаються так:

, ,

, .

Усі ці функції нескінченнозначні.

1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.

Нехай однозначна функція w=f(z) визначена в деякому околі точки z, включаючи і саму точку. Тоді границя

, (1.4)

якщо віна існує, називається похідною функції f(z) у точці z, а функція f(z) називається диференційовною у точці z.

П ідкреслимо, що в рівності (1.4) будь-яким чином прямує до нуля, тобто точка може наближатися до точки z по кожному з нескінченної множини напрямків (див. рис. 2) (в аналогічній ситуації для функції однієї дійсної змінної точка наближається до точки x лише по двох напрямках: ліворуч і праворуч).

Рис. 2

З диференційовності функції f(z) в деякій точці z випливає її неперервність у цій точці (відношення при може прямувати до скінченної границі f(z) лише за умови, що і ). Обернене твердження не має місця.

При яких умовах функція w=f(z) , буде диференційовна в заданій точці?

Теорема 1.1. Якщо функція w=u(x;y)+iv(x;y) визначена в деякому околі точки z=x+iy, причому в цій точці дійсні функції u(x;y) і v(x;y) диференційовні, то для диференційовності функції w=f(z) у точці z необхідно і достатньо, щоб у цій точці виконувалися рівності

, (1.5)

Рівності (1.5) називаються умовами Ейлера-Даламбера (або умовами Коші-Рімана).

□ Необхідність

Нехай функція f(z) диференційовна в точці z, тоді границя (1.4) існує і не залежить від шляху, по якому . Можна вважати, що точка наближається до точки z по прямій, паралельній дійсній осі (осі Ox), тобто (рис. 3).

Рис. 3 Тоді

.

Якщо ж точка наближається до точки z по прямій, паралельній уявній осі (осі Oy), то В цьому випадку

.

Порівнявши знайдені границі, одержимо .

Звідси випливає: .

Достатність

Нехай тепер умови (1.5) виконуються. Доведемо, что функція f(z) диференційовна.

Так як функції u(x;y) і v(x;y) диференційовні в точці z=x+iy, то їхні повні прирости можна подати у вигляді

, , де і – нескінченно малі більш високого порядку, ніж . Тоді

Заміняючи в чисельнику правої частини на , на , відповідно до умов (1.5), одержуємо:

, де ,

тобто

,

а – нескінченно мала вищого порядку відносно . Звідси випливає, що існує. При цьому . ■

З урахуванням умов Ейлера-Даламбера (1.5) похідну диференційовної функції f(z) можна знаходити за формулами

,

, . (1.6)

Правила диференціювання функцій дійсної змінної справедливі і для функцій комплексної змінної, диференційованих в точці z. Це означає, що якщо і диференційовні в деякій точці z комплексної площини, то справедливі такі твердження:

1.

2.

3.

4. Якщо диференційована в точці z, а f(w) диференційована в точці , то .

5. Якщо в деякій точці z функція f(z) диференційовна й існує функція , диференційовна в точці w=f(z), причому , то , де - функція, обернена функції f(z).

Наведемо без доведення теорему про диференційовність основних елементарних функцій комплекснї змінної: функції , z, z, z, z, диференційовні в будь-якій точці комплексної площини; функції w=tg z і w=th z також диференційовні в будь-якій точці площини, крім точок і відповідно; для функцій w=Ln z, w= в околі кожної точки можна виділити однозначну вітку, яка є диференційовною в точці z функцією.