
- •Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •1. Функції комплексної змінної.
- •1.1. Основні поняття
- •1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •1.3.1. Показникова функція
- •1.1.3.2. Логарифмічна функція
- •1.3.5. Тригонометричні функції
- •1.3.6. Гіперболічні функції
- •1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •3. Ряди в комплексній площині
- •3.1. Числові ряди
- •3.2. Степеневі ряди
- •3.3. Ряд Тейлора
- •3.4. Нулі аналітичної функції
- •3.5. Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •3.6. Класифікація особливих точок.
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •4. Лишок функції
- •4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
- •4.3.Теорема Коші про лишки
- •Доведення
1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
Визначимо основні елементарні функції комплексної змінної .
1.3.1. Показникова функція
Показникова
функція
визначається формулою:
(1.1)
Поклавши
в цій рівності
.
Встановлюємо, що для дійсних значень
показникова функція
збігається з показниковою функцією
дійсної змінної:
.
Показникова
функція
має «відому» властивість:
.
Дійсно, за правилом множення комплексних
чисел («модулі перемножуються, а аргументи
додаються»), отримуємо:
.
Аналогічно
можна переконатися в справедливості
властивостей:
,
.
Враховуючи,
що
,
а
,
стверджуємо, що показникова функція
ніде в нуль не обертається, тобто
.
Виходячи з означення, легко переконатися, що
,
,
вираз
при
не має змісту.
Поклавши
в рівності (1.1)
,
,
одержимо класичну формулу Ейлера
.
За її допомогою, зокрема, можна подати
тригонометричну форму комплексного
числа
в більш компактній формі
,
що називається показниковою
формою комплексного
числа .
Показникова
функція комплексної змінної має і
специфічну властивість: вона є періодичною
з уявним основним періодом
.
Дійсно,
,
тобто
.
Відзначимо, що
може бути довільним числом крім
.
Оскільки комплексні числа не порівнюються
то не будемо порівнювати
з числом
,
як це робилося у дійсному аналізі :
1.1.3.2. Логарифмічна функція
Ця
функція означається як функція, обернена
до показникової: число
називається логарифмом
числа
,
якщо
,
позначається
.
Оскільки значення показової функції
завжди відмінні від нуля, то логарифмічна
функція
визначена на всій площині
,
крім точки
(а отже, має сенс і вираз
).
Поклавши
,
,
одержимо, відповідно до означення
логарифмічної функції,
,
або
.
Звідси маємо:
,
,
тобто
,
(
).
Отже,
,
(1.2)
тобто
чи,
,
де
.
Формула (1.2) показує, що логарифмічна функція комплексної змінної має нескінченну множину значень, тобто – багатозначна функція.
Однозначну
вітку цієї функції можна виділити,
підставивши у формулу (1.2)
певне значення
.
Поклавши
,
одержимо однозначну функцію, що
називається головним
значенням логарифма
і позначаються символом
:
,
де
.
(1.3)
Якщо
- дійсне додатне число, то
і
,
тобто головне значення логарифма
додатного числа збігається із звичайним
натуральним логарифмом цього числа.
Формулу
(1.2) можна переписати так:
.
З формули (1.2) випливає, що логарифмічна функція має відомі властивості логарифма дійсної змінної:
,
,
,
.
Доведемо, наприклад, першу властивість:
.
Приклад
2.
Обчислити
;
;
.
○Для
числа
маємо
,
.
Отже,
,
(формули (1.2)
і (1.3));
.
●
1.3.4. Степенева функція w=zn
Якщо
– натуральне
число, то степенева функція визначається
рівністю
.
Функція
- однозначна.
Якщо
,
то в цьому випадку
,
де .
Тут
функція
є багатозначна (
-значна) функція. Однозначну вітку цієї
функції можна одержати, поклавши
певне значення, наприклад
.
Якщо
,
де
,
то степенева функція визначається
рівністю
.
Функція
- багатозначна.
Степенева
функція
з довільним комплексним показником
визначається рівністю
.
Функція
визначена для усіх
,
є багатозначною функцією. Так,
,
де
При
маємо:
.