1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної

Визначимо основні елементарні функції комплексної змінної .

1.3.1. Показникова функція

Показникова функція визначається формулою:

(1.1)

Поклавши в цій рівності . Встановлюємо, що для дійсних значень показникова функція збігається з показниковою функцією дійсної змінної: .

Показникова функція має «відому» властивість: . Дійсно, за правилом множення комплексних чисел («модулі перемножуються, а аргументи додаються»), отримуємо:

.

Аналогічно можна переконатися в справедливості властивостей: , .

Враховуючи, що , а , стверджуємо, що показникова функція ніде в нуль не обертається, тобто .

Виходячи з означення, легко переконатися, що

, ,

вираз при не має змісту.

Поклавши в рівності (1.1) , , одержимо класичну формулу Ейлера . За її допомогою, зокрема, можна подати тригонометричну форму комплексного числа в більш компактній формі , що називається показниковою формою комплексного числа .

Показникова функція комплексної змінної має і специфічну властивість: вона є періодичною з уявним основним періодом .

Дійсно,

,

тобто . Відзначимо, що може бути довільним числом крім . Оскільки комплексні числа не порівнюються то не будемо порівнювати з числом , як це робилося у дійсному аналізі :

1.1.3.2. Логарифмічна функція

Ця функція означається як функція, обернена до показникової: число називається логарифмом числа , якщо , позначається . Оскільки значення показової функції завжди відмінні від нуля, то логарифмічна функція визначена на всій площині , крім точки (а отже, має сенс і вираз ).

Поклавши , , одержимо, відповідно до означення логарифмічної функції, , або . Звідси маємо:

, , тобто , ( ).

Отже,

, (1.2)

тобто чи, , де .

Формула (1.2) показує, що логарифмічна функція комплексної змінної має нескінченну множину значень, тобто – багатозначна функція.

Однозначну вітку цієї функції можна виділити, підставивши у формулу (1.2) певне значення . Поклавши , одержимо однозначну функцію, що називається головним значенням логарифма і позначаються символом :

, де . (1.3)

Якщо - дійсне додатне число, то і , тобто головне значення логарифма додатного числа збігається із звичайним натуральним логарифмом цього числа.

Формулу (1.2) можна переписати так: .

З формули (1.2) випливає, що логарифмічна функція має відомі властивості логарифма дійсної змінної:

,

,

,

.

Доведемо, наприклад, першу властивість:

.

Приклад 2. Обчислити ; ; .

○Для числа маємо , . Отже, , (формули (1.2) і (1.3)); . ●

1.3.4. Степенева функція w=zⁿ

Якщо – натуральне число, то степенева функція визначається рівністю . Функція - однозначна.

Якщо , то в цьому випадку

,

де .

Тут функція є багатозначна ( -значна) функція. Однозначну вітку цієї функції можна одержати, поклавши певне значення, наприклад .

Якщо , де , то степенева функція визначається рівністю

.

Функція - багатозначна.

Степенева функція з довільним комплексним показником визначається рівністю

.

Функція визначена для усіх , є багатозначною функцією. Так, , де

При маємо: .