4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів

Правильні або усувні особливі точки. Очевидно, якщо є правильна або усувною особливою точкою функції , то (в розкладі Лорана (3.11) у цих випадках відсутня головна частина, тому ).

Полюс. Нехай точка є простим полюсом функції . Тоді ряд Лорана для функції в околі точки має вигляд . Звідси .

Тому, переходячи в цій рівності до границі при , отримуємо

Res (4.3)

Зауваження. Формулу (4.3) для обчислення лишка функції в простому полюсі можна подати в іншому вигляді, якщо функція є часткою двох функцій, аналітичних в околі точки .

Нехай , де , а має простий нуль в (тобто , ). Тоді, застосовуючи формулу (4.3), маємо: , тобто

Res (4.4)

Нехай точка є полюсом m-го порядку функції . Тоді лоранівський розклад функції в околі точки має вигляд . Звідси .

Диференціюючи останню рівність раз, отримаємо:

.

Переходячи тут до границі при , отримуємо:

Res (4.5)

Істотно особлива точка. Якщо точка — істотно особлива точка функції , то для обчислення лишка функції в цій точці зазвичай безпосередньо визначають коефіцієнт в розкладі функції в ряд Лорана.

Приклад 20. Знайти лишки функції в її особливих точках.

○ особливими точками функції є: — простий полюс, — полюс третього порядку ( ). Отже, по формулі (4.4) маємо .

Використовуючи формулу (3.5) знаходимо:

. ●

Приклад 21. Знайти лишки функції в особливій точці .

○ Лоранівський розклад даної функції в околі точки було знайдено в прикладі 3.4. З нього знаходимо тобто .

Теорема про лишки часто використовується для обчислення інтеграла від функції комплексної змінної по замкненому контуру. ●

П риклад 22. Обчислити , де L – коло

○ Функція має в крузі

(див. рис. 20) простий полюс і полюс другого порядку . Застосовуючи формули (4.2), (4.3) і (4.5) отримуємо:

Рис. 20

Визначений інтеграл вигляду за допомогою заміни в деяких випадках вдається перетворити в інтеграл по замкнутому контурі від функції комплексної змінної, до якого уже застосовна основна теорема про лишки. ●

Приклад 23. Обчислити за допомогою лишків інтеграл .

○ Зробимо заміну змінних, поклавши . Тоді , . При зміні x від 0 до 2 точка z опише в додатному напрямку коло . Отже,

.

У крузі функція має полюс другого порядку . За формулою (4.5) знаходимо

.

Отже, . ●

4.3.Теорема Коші про лишки

Нехай U — відкрита, однозв'язна підмножина комплексної площини  , z₁,...,z_n множина особливих точок у U і f — функція що є аналітичною у множині U - {z₁,...,z_n}. Якщо γ — деяка замкнута спрямлювана крива у U, якій не належать z_k. Тоді  :

В даній рівності, Res(f,z_k) позначає лишок функції f в точці z_k, а   індекс контура γ відносно точки z_k.

Дане число може бути визначене за формулою:

Замітка. У найпоширенішому випадку крива вважається жордановою, тобто вона ніде не перетинається сама з собою. В такому випадку крива розбиває область U на дві частини внутрішню та зовнішню. Для внутрішніх особливих точок (як на малюнку) в таких випадках  , для зовнішніх   і їх можна не враховувати. Тоді рівність із твердження теореми перепишеться:

де сума береться по всіх внутрішніх особливих точках.