Істотно особлива точка

Якщо — істотно особлива точка, то, як доводиться (теорема Сохоцького-Вейерштраса), у досить малому околі точки функція стає невизначеною. У такій точці аналітична функція не має ні скінченної, ні нескінченної границі. Вибираючи різні послідовності точок , які збігаються до істотно особливої точки , можна отримати різні послідовності відповідних значень функції, що збігаються до різних границь.

Приклад 16. Визначити тип особливості в точці .

○ Функція в околі точки має наступний лоранівський розклад: (див. приклад 14). Точка є істотно особливою точкою. Якщо вздовж додатньої частини дійсної осі, то ; якщо уздовж від’ємної частини дійсної осі, то .

Оскільки границя не існує, то маємо істотно особливу точку. ●

Зауваження. Класифікацію ізольованих особливих точок можна поширити на випадок, коли особливою точкою функції є нескінченно віддалена точка, .

Околом точки називають зовнішність якого-небудь круга з центром у точці і досить великим радіусом R (чим більше R,тим меншший окіл точки ).

Точку називають ізольованою особливою точкою, якщо в деякому околі її немає інших особливих точок функції .

Нескінченно віддалена ізольована особлива точка може бути усувною особливою точкою, полюсом порядку m чи істотно особливою точкою. У першому випадку лоранівський розклад функції в околі точки не має членів з додатніми показниками, у другому — має їх лише скінчене число, у третьому випадку в розкладі є нескінченно багато членів з додатніми показниками.

Вивчення функції в околі точки можна звести шляхом підстановки до вивчення функції в околі точки .

Приклад 17. Знайти особливі точки функції .

○ Особливою точкою функції є . Знайдемо границю функції при : . Отже, точка є полюсом. Можна переконатися, що , . Отже (див. (3.7)), точка – полюстретього порядку. ●

Приклад 18 Дослідити особливості функції .

○ Для даної функції точки і — прості полюсы, – полюс другого порядку. ●

Приклад 19. З'ясувати поведінку функцій , в околі точки .

○ Зробимо підстановку . Тоді функція матиме вигляд . При умові має місце розклад . Повертаючись до старої змінної, маємо

, .

Тому точка є усувною особливою точкою (див. останнє зауваження).

Неважко переконатися, що для функції є правильною точкою. ●

4. Лишок функції

4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки

Лишком аналітичної функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число, що дорівнює значенню інтеграла , узятого в додатному напрямку по колу L з центром у точці , що лежить в області аналітичної функції (тобто в кільці ).

Позначаються лишки функції в ізольованій особливій точці символом або символом . Таким чином,

Res (4.1)

Якщо у формулі (3.12) покласти , то отримаємо

або ,

тобто лишки функції відносно особливої точки дорівнює коефіцієнту при першому члені з від’ємним показником у розкладі функції в ряд Лорана (3.11).

Теорема 3.7 (Коші). Якщо функція є аналітичною в замкненій області , обмеженій контуром L, за винятком скінченого числа особливих точок , що лежать усередині області D, то

. (4.2)

Навколо кожної особливої точки опишемо коло так, щоб воно повністю містилося в області D, не містило усередині інших особливих точок і щоб ніякі два з цих кіл не мали спільних точок (див. рис.19)

Тоді згідно теореми Коші для багатозв’язної області (наслідок 1 теореми 2.1) маємо:

,

де при інтегруванні всі контури обходяться проти годинникової стрілки. Але, відповідно до формули (4.1),

Маємо:

,

,

……………………

.

Рис. 19

Отже, , тобто .