Задача № 7

Система состоит из двух основных элементов, соединенных последовательно. Интенсивность отказов этих элементов равна, соответственно, ₁ =8·10^-4 ч^-1 ₂ = 9·10^-4 ч^-1. С целью повышения надежности решено произвести резервирование рабочих элементов такими же элементами.

Определить для периода нормальной эксплуатации при наработке t = 100 ч, как изменится надежность системы при следующих вариантах резервирования:

1. Общее горячее резервирование.

2. Поэлементное горячее резервирование.

3. Общее холодное резервирование.

4. Поэлементное холодное резервирование.

5. Общее резервирование с постоянным подключением элементов, работающих в облегченном режиме (интенсивности отказов резервных элементов в рабочем режиме, соответственно, ₁^Р = 6·10^-4 ч^-1, ₂ = 7·10^-4 ч^-1).

Решение

1. Определим вероятность безотказной работы и вероятность отказа основных элементов системы. Так как

₁t = 8·10^-4× 100 = 0,08  0,1, и ₁ t = 9·10^-4×100 = 0,09 0,1,

то можно записать

Р₁⁰ = 1 - ₁t = 1 – 0,08= 0,92,

Р₂⁰ = 1 - ₁t = 1 – 0,09= 0,91,

Q ₁⁰ (t) = 1 – 0,92 = 0,08,

Q ₂⁰ (t) = 1 – 0,91 = 0,09.

2. Определим вероятность безотказной работы основной системы

Р_С⁰ (t) = Р₁⁰×Р₂⁰ = 0,92×0,91 = 0,8372.

3. Определим вероятность безотказной работы системы с общим горячим резервированием

Р_С1(t) = 1 - Q_C (t) = 1 - [ 1 -  P_i ]² = 1 – (1 – 0,92×0,91)² = = 1 – (1 - 0,8372)² = 1 – 0,1628² = 0,9735.

4. Определим вероятность безотказной работы системы с поэлементным горячим резервированием

P_C2 (t) =  [1 - Q_i ⁰ (t)²] = [1 - 0,08 ²] [1 - 0,09 ²] = 0,9856.

5. Определим вероятность безотказной работы системы с общим холодным резервированием

P_C3 (t) = 1 – 0,5 Q _С⁰ (t)² = 1 – 0,5*(1 – 0,8372)² = 0,9868.

6. Определим вероятность безотказной работы системы с поэлементным холодным резервированием

P_C4 (t) = P₁¹ (t)×P₂¹¹ (t) = (1 – 0,5 Q ₁⁰ (t)² )×(1 – 0,5 Q ₂⁰ (t)²) =

= (1 – 0,5×0,08 ²)×(1 – 0,5×0,09 ²) = 0,9928.

7. Определим вероятность безотказной работы системы при резервировании с постоянно подключенным резервным элементом, работающим до отказа основного в облегченном режиме

Р_С5 (t) = 1 – 0,5  _С⁰ ( _С⁰ +  _С^Р) t²,

 _С⁰ = ₁ + ₂ = 8·10^-4 + 9·10^-4 = 17·10^-4,

_С^Р = ₁^Р + ₂^Р = 6·10^-4 + 7·10^-4 = 13·10^-4,

Р(t) = 1 – 0,5×17×10^-4×(17·10^-4 + 13·10^-4)×100² = = 1 – 0,5×17×30·10^-4 =0,9745.

8. Итоги расчетов представим в таблице

Измеритель надежности систем	РС0 (t)	РС1(t)	PC2 (t)	PC3 (t)	PC4 (t)	РС5 (t)
Показатель	0,8372	0,9735	0,9856	0,9868	0,9928	0,9745
Рейтинг надежности	6	5	3	2	1	4

Задача для самостоятельного внеаудиторного решения

Система имеет три элемента. Рассчитать показатели безотказности системы при наработке t, если известно следующее: интенсивность отказов элементов – λ₁ λ₂ λ₃; наработка подчиняется экспоненциальному закону.

Задачу решить для следующих случаев: а) элементы соединены последовательно; б) элементы соединены параллельно; в) первые два элемента соединены параллельно, третий последовательно им; г) последовательно соединенные элементы имеют горячее поэлементное резервирование; д) последовательно соединенные элементы имеют горячее общее резервирование; е) последовательно соединенные элементы имеют холодное общее резервирование с быстродействующим подключением резервной системы.

Примечание – резервные элементы имеют такие же показатели надежности, что и основные.

Исходные данные по вариантам

Показатель	Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
t, ч	1000	1100	1200	1300	1400	2000	2100	2200	2300	2400
λ1, ч-1 (×10-4)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ2, ч-1 (×10-3)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ3, ч-1 (×10-4)	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5