
- •I. Цели и задачи дисциплины
- •II. Программа раздела
- •1. Введение в математический анализ.
- •2. Исследование функций с помощью производных
- •3. Интегральное исчисление
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Числовые и степенные ряды
- •III. Правила выполнения и оформления контрольной работы
- •IV. Задачи контрольной работы
- •V. Методические указания по выполнению контрольной работы
- •Высшая математика Контрольная работа № 2:
V. Методические указания по выполнению контрольной работы
ЗАДАЧА 1 (вариант …). Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) – г), с использованием правила Лопиталя в пункте д).
Решение.
а)
Имеем
неопределенность вида
,
так как пределы числителя и знаменателя
равны нулю, т. е.
.
Следовательно, теорему о пределе частного
здесь применить нельзя. Для раскрытия
этой неопределенности разложим числитель
и знаменатель на множители:
Таким образом,
Ответ:
б)
Имеем
неопределенность вида
,
так как пределы числителя и знаменателя
равны нулю. Для раскрытия этой
неопределенности умножим числитель и
знаменатель дроби на выражение,
сопряженное числителю, т. е. на
.
Таким образом,
Ответ: -3.
в)
Имеем неопределенность вида 1, так как
Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечатель-
ный предел
Таким образом,
Ответ:
.
г)
Имеем
неопределенность вида
.
Для раскрытия этой неопределенности
воспользуемся формулой
и первым замечательным пределом
Таким образом,
Ответ: 2.
д)
Имеем неопределенность вида 00. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем исходную функцию, воспользовавшись равенством
Таким образом,
В
показателе степени имеем неопределенность
вида
.
Для раскрытия этой неопределенности
воспользуемся правилом Лопиталя:
Окончательно
имеем:
Ответ: 1.
ЗАДАЧА
2
(вариант…). Производственная функция
Кобба-Дугласа
выражает зависимость объема выпущенной
продукции z
от объема основных фондов x
и затрат
труда у
(в стоимостном выражении).
Требуется:
1.
Найти максимальный выпуск продукции
при бюджетном ограничении
2. Вычислить предельную фондоотдачу и предельную производительность труда в точке максимального выпуска. Как изменится максимальный объем выпускаемой продукции при малых изменениях найденных объема основных фондов и затрат труда (без учета бюджетных ограничений).
Решение:
1.
Для того чтобы найти максимальный выпуск
продукции, необходимо решить задачу
нахождения условного максимума функции
двух переменных
.
При этом бюджетное ограничение
будет являться уравнением связи.
Рассмотрим
один из способов решения этой задачи.
Из уравнения связи находим функцию у
= 3,3 – х
и подставим ее в функцию
.
Получим функцию одной переменной
В результате этого задача нахождения условного максимума свелась к задаче нахождения максимума функции одной переменной z (x). Для решения этой задачи найдем вначале критические точки функции z (x). Для этого вычисляем первую производную z (x) и решаем уравнение z (x)= 0.
Решая
уравнение z
(x)
= 0, находим критическую точку х1
= 1,056.
К критическим точкам функции
z (x)
относятся также и те точки из области
определения, в которых первая производная
z
(x)
не существует. В нашем случае к таким
точкам относятся х2
= 0, х3
= 3,3. Значения функции z (x)
в этих
точках равны нулю,
Так как решается задача нахождения
максимума функции z (x),
то эти точки не принимаем в рассмотрение.
Исследуем на экстремум функцию z (x) в критической точке х1 = = 1,056, используя достаточный признак.
При переходе аргумента х слева направо через критическую точку х1 производная z (x) меняет знак с “+” на “–”. Поэтому в точке х1 функция z (x) имеет максимум.
Из
уравнения связи находим
Следовательно, функция
в точке М
имеет условный максимум
Ответ:
Максимальный выпуск продукции
.
2.
Для производственной функции
предельная фондоотдача есть частная
производная
,
предельная производительность
труда –
.
Вычислим частные производные:
Вычислим значения частных производных в точке максимального выпуска, т. е. при х1 = 1,056, у1 = 2,244.
Изменение значения объема выпускаемой продукции при малых изменениях объема основных фондов и затрат труда приблизительно выражается полным дифференциалом
Подставляя найденные значения частных производных, получим
Ответ: предельная фондоотдача – 0,556;
предельная производительность труда – 0,555;
изменение объема выпускаемой продукции –
ЗАДАЧА
3 (вариант
…). Производственная функция
описывает зависимость производительности
труда у
от фондовооруженности (капиталовооруженности)
х.
Провести полное исследование функции
и построить ее график. Выделить
подмножества тех значений
,
при которых данная функция соответствует
экономическому смыслу.
Решение.
1. Находим область определения функции.
Данная функция определена для всех значений х, за исключением значения х = 2, где знаменатель функции обращается в ноль. Следовательно, область определения является объединением двух бесконечных интервалов
2. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность.
Так как D (y) не является симметричным множеством относительно начала координат, то данная функция не является четной, нечетной, периодической.
3. Исследуем функцию на экстремум. Находим интервалы возрастания и убывания.
Находим первую производную данной функции:
.
Она
определена для всех
.
Находим критические точки функции. Для этого решаем уравнение
Получаем х = 3,6 – критическая точка.
Область
определения функции разбиваем на три
интервала:
,
,
и определяем знак производной
на каждом из них.
При
,
,
следовательно, функция убывает на
интервалах
.
При
,
,
следовательно, функция возрастает на
интервале (2; 3,6).
При
переходе аргумента х
через точку х
= 2 (слева направо) производная
меняет знак с “+” на “–”, следовательно,
функция в точке х
= 2 имеет локальный максимум. Значение
функции в точке локального максимума
.
4. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
Найдем вторую производную данной функции:
Она
определена для всех
.
Решая уравнение
или
,
находим: х
= 4,4 – критическая точка второго рода.
О
бласть
определения функции разбиваем на три
интервала:
и определяем знак производной
на каждом из них.
При
,
,
следовательно, график функции является
выпуклым на интервалах
.
При
,
следовательно, график функции является
вогнутым на интервале
Так
как при переходе аргумента через
критическую точку х
= 4,4 вторая производная
меняет знак, то точка
является точкой перегиба графика
функции.
5. Находим предельные значения функции на концах интервалов области определения и асимптоты.
Следовательно, точка х = 2 является точкой разрыва второго рода, а прямая х = 2 – вертикальная асимптота графика функции.
Найдем
наклонные асимптоты
.
Следовательно,
прямая
или y
= 3 является горизонтальной асимптотой.
6. Находим точки пересечения графика с осями координат.
При
При
при
Следовательно,
график данной функции пересекает
координатные оси в точках
7. Результаты исследования занесем в таблицу.
|
(-; 2) |
2 |
(2; 3,6) |
3,6 |
(3,6; 4,4) |
4,4 |
(4,4; +) |
y |
< 0 |
|
> 0 |
0 |
< 0 |
< 0 |
< 0 |
y |
< 0 |
|
< 0 |
< 0 |
< 0 |
0 |
> 0 |
|
, |
|
, |
6,125 т. max |
, |
5,78 т. перегиба |
, |
8. По полученным данным строим график функции.
9.
На интервале
данная функция соответствует экономическому
смыслу (с возрастанием фондовооруженности
производительность труда возрастает).
ЗАДАЧА 4 (вариант …). Найти неопределенный интеграл. В пунктах а), б) результат интегрирования проверить дифференцированием.
Решение.
а)
Для вычисления данного интеграла применим формулу интегрирования по частям
где
– дифференцируемые функции.
Таким образом,
Результат проверим дифференцированием.
Ответ:
б)
Результат проверим дифференцированием.
Ответ:
в)
Таким образом получили соотношение относительно исходного интеграла
Решая полученное уравнение относительно I, получим
Ответ:
г)
Ответ:
.
ЗАДАЧА
5 (вариант…).
Вычислить площадь фигуры (с точностью
до
2-х знаков после запятой), ограниченной
линиями
Решение.
Сделаем чертеж.
Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решаем систему уравнений:
Откуда
Площадь данной фигуры находим по формуле
Ответ: 4,9 кв. единиц.
ЗАДАЧА
6 (вариант
…). Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения первого
порядка
удовлетворяющего начальному условию
Решение.
Данное
уравнение решаем с помощью подстановки
где
– неизвестные функции. Тогда
Подставив
в исходное уравнение, получим
. (*)
Найдем
функцию v
(x)
из условия
Подставляем полученное выражение для v (x) в уравнение (*):
Тогда
– общее решение исходного уравнения.
Из начального условия находим С:
Следовательно,
– частное решение исходного уравнения.
Ответ:
ЗАДАЧА
7 (вариант…).
Найти радиус сходимости, интервал
сходимости и область сходимости
степенного ряда
Решение.
Найдем
радиус сходимости данного ряда по
формуле
В
нашем случае
Тогда
Следовательно,
интервал сходимости данного ряда имеет
вид
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При
степенной ряд превращается в числовой
ряд
который расходится как гармонический ряд.
При
степенной ряд превращается в числовой
ряд
Error: Reference source not found
.
Это
– знакочередующийся ряд, члены которого
убывают по абсолютной величине и
Следовательно, по признаку Лейбница
этот числовой ряд сходится.
Таким
образом, промежуток
– область сходимости данного степенного
ряда.
Ответ:
– радиус сходимости,
– интервал
сходимости,
– область сходимости.
Приложение 1
Основные правила дифференцирования и таблица производных
Основные правила дифференцирования
Пусть
с
– постоянная,
– функции, имеющие производные, тогда
имеют место следующие формулы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Если
т. е.
где функции
имеют производные, то
– формула дифференцирования сложной
функции.
Таблица производных основных элементарных функций
№ |
Вид функции |
Производная |
Сложная функция |
Производная сложной функции |
1. |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
Продолжение таблицы |
||||
№ |
Вид функции |
Производная |
Сложная функция |
Производная сложной функции |
6. |
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
14. |
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
Приложение 2
Таблица основных неопределенных интегралов
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Приложение 3
Институт бизнеса и менеджмента технологии БГУ
Кафедра менеджмента технологии