1.3. Преобразование Гивенса

Преобразование Гивенса определяется матрицами плоских вращений вида

(1.3.1)

Матрица при фиксированном отличается от единичной -матрицы лишь тем, что в -подматрица . Занимающая клетку, образованную пересечением -х и -х строк и столбцов, заменяется подматрицей

С элементами и , удовлетворяющими условию

. (1.3.2)

С этим условием нормировка матрица и соответственно матрица являются ортогональными и, кроме того, оправдывают название выполняемого посредством преобразования – преобразования плоских вращений, поскольку элементы и можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла преобразования поворота.

Имя возможность наложить еще одно условие на и в преобразовании Гивенса, распорядимся этой свободой так, чтобы с помощью последовательности таких ортогональных преобразований матрицами вида (1.3.1) матрицу Хесенберга удалось привести к правому треугольному виду, последовательно аннулируя поддиагональные элементы в первом, второй, …, -м столбцах.

С этой целью предположим, что уже сделаны таких шагов, в результате чего получена матрица

Найдем произведение матрицы на матрицу полагая в из (1.3.1) . Приходим к матрице с измененными элементами по сравнению с матрицей только в -й и в -строках. Потребуем, чтобы единственный ненулевой поддиагональный элемент -го столбца матрицы обратился в нуль, т.е. подберем числа , связанные, согласно (1.3.2) соотношением так, что

Отсюда получаем

(1.3.3)

- значение тангенса угла поворота в плоскости, определяемой -м и -м ортами.

Очевидно, что если на -м шаге окажется , то можно принять , т.е. положить . В противном случае, учитывая (1.3.1), вычисляем по формулам:

Предварительно подсчитав с помощью (1.3.3). После пересчета диагональных и стоящих правее них элементов -й и -й строк по формулам

Матрица будет готова к выполнению следующего шага преобразований Гивенса.

Таким образом совокупность этих формул, в которых натуральной переменной последовательно придаются значения , полностью определяет процесс приведения матрицы Хессенберга к матрице правой треугольной формы, осуществляемый преобразованиями .

2. Практические применения

2.1. Метод отражений решения слау

Одним из возможных приложений полученного способа разложения квадратной матрицы в произведений ортогональной и треугольной матриц является метод решения систем линейных алгебраических уравнений, носящий название метод отражений.

Пусть дана система

(2.1.1)

С вещественным вектором правой части , вектором неизвестных и вещественной матрицей коэффициентов

Рассмотрим две ситуации.

1. Предположим, что уже известно ортогональное разложение матрицы :

, (2.1.2)

Где -ортогональная, а - правая треугольная матрицы. Тогда после его подстановки в (2.1.1) имеем эквивалентную систему

Которая, в свою очередь, ввиду ортогональности симметричной матрицы , равносильна системе

. (2.1.3)

Обозначив систему (2.1.3) можно переписать в виде

(2.1.4)

Из чего следует, что для получения искомого решения теперь достаточно выполнить обратный ход метода Гаусса.

2. Будем теперь исходить из того, что готового QR-разложения матрицы нет и, вообще говоря, оно в явном виде не требуется ,а нужно получить решение системы (2.1.1), используя преобразование отражения.

Промежуточной целью здесь опять является приведение данной СЛАУ к виду (2.1.4), служащему стартовым для обратного хода метода Гаусса. Это означает, что одинаковыми преобразованиями, сохраняющими эквивалентность систем, матицу нужно привести к верхней треугольной матрице , а вектор - к вектору , где и отвечают представлению (2.1.2) В другие терминах – расширенную матрицу системы (2.1.1) ортогональными преобразованиями нужно перевести в расширенную матрицу системы (2.1.3). Ясно, что это можно сделать, применяя последовательно к столбцам матрицы преобразования Хаусхолдера по схеме QR-факторизации.

Действительно, так как

,

и, значит, , то отсюда имеем следующее «технологичное» представление -матрицы :

,

Где – матрица Хаусхолдера -го этапа.