МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине

«Методы численного анализа»

на тему «Ортогональное разложение матриц и его применения»

Выполнил: Бенько И.С.,

ст.гр. 852002

Принял: Хотеев А. Л.

Минск, 2010

Оглавление

1. Теоретические сведения 3

1.1 Преобразование Хаусхолдера. 3

1.2. QR-разложение матриц 4

1.3. Преобразование Гивенса 6

2. Практические применения 9

2.1. Метод отражений решения СЛАУ 9

3. Примеры и пояснение работы программы (язык C#) 11

3.1. Что реализовано в модулях программы? 11

3.2.Примеры работы программы 12

4. Решение СЛАУ методом отражений 13

4.1. Решение примера вручную 13

5. Список литературы 15

1. Теоретические сведения

В евклидовом n-мерном пространстве рассматриваются два ортогональных преобразования: преобразование отражения Хаусхолдера и преобразование плоских вращений Гивенса. В качестве примера применения преобразований Хаусхолдера изучается метод отражений для решения систем линейных алгебраических уравнений. Главный упор делается на использование ортогональных преобразований в задаче нахождения всех собственных числе (в том числе кратных и комплексны) произвольных квадратных матриц умеренных размеров с вещественными элементами.

1. Преобразование Хаусхолдера.

Пусть w – некоторый фиксированный вектор (столбец) евклидова пространства со скалярным произведением , такой, что

(1.1.1)

Образованная с его помощью – матрица

(1.1.2)

называется матрицей Хаусхолдера.

Чтобы выявить простейшие геометрические свойства преобразования Хаусхолдера, осуществляемого посредством матрицы , посмотрим, что представляет собой вектор , служащий при этом преобразовании образом произвольного вектора :

(1.1.3)

Если взять коллинеарным , т.е. , где , то в силу (1.1.1), имеем . В таком случае, согласно (1.1.3), получаем

Если же перпендикулярно , то и, значит, из (1.1.3) следует, что .

Итак, преобразование Хасхолдера действует на векторы -мерного евклидова пространства следующим образом: векторы, ортогональные определяющему матрицу Хасухолдера (1.1.2) вектору w, оно оставляет неизменными, а векторы, коллинеарные w, переводит в противоположные – отражает. Отсюда проистекают другие названия матрицы и соответствующего ей преобразования – матрица и преобразование отражения.

Непосредственным перемножением вектора на вектор находим:

Очевидная симметричность матрицы влечет симметричность матрицы . Пользуясь этим, имеем

(поскольку , в силу (1.1.1)). Полученное в итоге равенство означает, что матрица Хаусхолдера – ортогональная.

Одним из важнейших свойство ортогональных преобразований является сохранение длин преобразуемых векторов. Благодаря этому свойству, согласно вышепоказанному,, можно утверждать, что

, (1.1.4)

Равенство (1.1.4) играет существенную роль для конкретизации векторов при построении матриц Хаусхолдера, таких, чтобы преобразованиями с их помощью достичь определенных целей.

1.2. QR-разложение матриц

Поставим теперь следующую задачу: ортогональными преобразованиями привести -матрицу к треугольному виду. Иначе, осуществить -разложение матрицы , т.е. описать процедуру, посредством которой получается равенство

,

Где – ортогональная матрица, а – правая треугольная.

Будем решать эту задачу поэтапно.

На первом этапе отдадим роль преобразуемого вектора в предыдущих рассуждениях и формулах первому столбцу матрицы . Согласно им, построив матрицу Хасухолдера с помощью вектора

И скаляров

,

И применив ее к матрице , получим матрицу

Со столбцом нулей под первым диагональным элементом, т.е. матрицу вида

(где )

На втором этапе нужно поступить таким же образом с подматрицей матрицы , которая получается вычеркиванием в первой строки и первого столбца. Легко проверить, что это равносильно применению ко всей матрице преобразования Хаусхолдера, определяемого формулами

,

,

Для этого достаточно лишь убедиться, что матрица имеет структуру вида

Означающего неизменность первых строки и столбца при выполнении преобразования

Результат первых двух этапов – это матрица

Ясно, что для приведения данной -матрицы к треугольному виду потребуется таких этапов, причем -й этап определяется формулами:

,

Итог всей процедуры из этапов – матрица треугольного вида

Где через обозначена матрица, представляющая собой произведение ортогональных матриц Хаусхолдера . Так как произведением ортогональных матриц является матрица, тоже ортогональная, то равенство можно обратить умножением слева на .

Теорема (о QR-разложении). Преобразованиями Хаусхолдера любая квадратная матрица с вещественными элементами может быть представлена в виде произведения вещественных ортогональной и правой треугольной матриц.