4. Вывод сду, описывающих динамику нагруженного lcr-фвч 2 порядка.

Рисунок 1 – Схема LCR-фильтра верхних частот

Так как в данной задаче требуется получить и проанализировать частотные характеристики, то можно осуществить переход к комплексной схеме замещения (рис. 2).

Рисунок 2 – Комплексная схема замещения LCR-фильтра верхних частот

Эквивалентируем полученную комплексную схему замещения. Для этого используются следующие выражения:

1 . емкостное сопротивление 2. индуктивное сопротивление

, где s – оператор Лапласа.

Согласно данным выражениям исследуемая комплексная схема замещения может быть упрощена следующим образом:

Рисунок 3 – Комплексная схема замещения LCR-фильтра верхних частот после упрощения

В данной схеме эквивалентное сопротивление определяется следующим образом:

;

Система алгебраических уравнений в изображениях, описывающих состояние ФВЧ:

Частотные характеристики получаются из передаточной функции, которая связывает координаты выхода и входа.

;

Произведем алгебраические преобразования:

;

Следовательно передаточная функция имеет вид:

5. Вывод выражений для ачх, фчх и лачх нагруженного lcr-фнч 2 порядка.

Пусть w – частота входного сигнала (напряжения) ФНЧ, а j – мнимая единица. Заменим оператор Лапласа s на комплексную переменную jw:

.

Преобразуем знаменатель предыдущего выражения, выделив действительную и мнимую

части:

.

Избавимся от мнимой единицы в знаменателе и запишем выражение для комплексной частотной характеристики ФНЧ:

.

Запишем выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ФНЧ:

;

– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФВЧ

;

– логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) ФВЧ

.

6. Вывод выражений для ачх, фчх и лачх нагруженного lcr-фвч 2 порядка.

Пусть w – частота входного сигнала (напряжения) ФВЧ, а j – мнимая единица. Заменим оператор Лапласа s на комплексную переменную jw:

.

Преобразуем данное выражение для выделения вещественной и мнимой частей, учитывая, что знаменатель не должен содержать мнимой единицы. Получаем:

– вещественно – частотная характеристика (ВЧХ) ФВЧ

;

– мнимочастотная характеристика (МЧХ) ФВЧ

.

Используя полученные выражения получаем частотные характеристики исследуемого ФВЧ:

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФВЧ

;

– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФВЧ

;

– логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) ФВЧ

.

7. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по АЧХ для нагруженного LCR-ФНЧ 2 порядка.

Для определения необходимо найти производную , т.к. в данной точке касательная параллельна оси X, тогда

Для определения необходимо найти точку перемещения графиков и , т.е.

- нелинейное уравнение (2)

Решив эти уравнения найдем и , затем

8. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по АЧХ для нагруженного LCR-ФВЧ 2 порядка.

Для определения необходимо найти производную , т.к. в данной точке касательная параллельна оси X, тогда

Для определения необходимо найти точку перемещения графиков и , т.е.

- нелинейное уравнение (2)

Согласно команде Mathcad , тогда

Решив эти уравнения найдем и , затем

9. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по ЛАЧХ для нагруженного LCR-ФНЧ 2 порядка.

- проведем потенцирование функции по основанию 10.

Таким образом, имея можно найти , решив уравнение

_{Найдем : ЛАЧХ:}

Решив это уравнение найдем => _.

10. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по ЛАЧХ для нагруженного LCR-ФВЧ 2 порядка.

- проведем потенцирование функции по основанию 10.

Таким образом, имея можно найти , решив уравнение

_{Найдем : ЛАЧХ:}

Решив это уравнение найдем => _.

11. Алгебраическая и показательная форма записи комплексной частотной характеристики. Пояснить на рисунке векторную форму комплексной частотной характеристики.

Операторной передаточной функцией ФВЧ называется отношение изображение выходного сигнала ко входному :

запишем выражение для операторной передаточной функции ФВЧ:

Заменим оператор Лапласа s на комплексную переменную j·ω:

где (25)

– вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФВЧ,

(26)

– мнимочастотная характеристика (МЧХ) ФВЧ,

(27)

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФВЧ,

(28)

– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФВЧ.