Бесконечно удаленная точка

Пусть дана последовательность : .

Такую последовательность назовем неограниченно возрастающей. Она предела не имеет. Вводят комплексное число и считают всякую неограниченно возрастающую последовательность сходящейся к этому числу, которому поставим в соответствие бесконечно удаленную точку комплексной плоскости. Полная комплексная плоскость-обычная комплексная плоскость плюс . Точки рассматриваемой последовательности с возрастанием их номера располагаются вне концентрических кругов с центром в начале координат, радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Точки данной последовательности стремятся к точке независимо от направления на полной комплексной плоскости. Из элементов неограниченно возрастающей последовательности составим последовательность . Эта последовательность сходится к точке . В этой связи полагают . Устанавливаются следующие соотношения

, которые естественны с точки зрения предельного перехода в операциях сложения и умножения.

Ряды Лорана.

Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z₀| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:

(так как | z – z₀| < | t – z₀| , то ) , (1)

и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , (2)

где

.

Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только,

что на L_ρ | t – z₀| < | z – z₀| :

. (3)

И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , (4)

г де

. (5)

Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для L_ρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для L_R:

поэтому окончательно для интеграла по L_ρ получим . (6)

Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z₀| ≤ R, и точка z₀ расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; ,

поэтому для любого n

,

и          .

        Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z₀), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени

( ),

называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени

( ),

называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z₀| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z₀| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z₀| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.         Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим

        Примеры разложения функций в ряд Лорана.         Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .         Здесь z₀ = 2; функция теряет аналитичность в точках z₁ = 0, z₂ = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z₀ (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:         1. | z – 2| < 2; 2. 2 < | z – 2| < 6; 3. | z – 2| > 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:         1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. - таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где | z – 2| < 2; ; это разложение справедливо, если | z – 2| < 6, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области .

Этот ряд содержит только правильную часть.         2. В кольце 2 < | z – 2| < 6 знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби ) по модулю , поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что , получим = . Это - главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид .         3. В кольце |z − 2| > 6 ⇔ 6 < |z − 2| < +∞ для первой дроби разложение такое же, как и в предыдущем случае:

или .

Для второй дроби .

Ответ можно записать и в форме

,

и в форме . В этом разложении имеется только главная часть.         Пример 2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .         Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке , поэтому .

Главная часть здесь равна ,

остальные слагаемые образуют правильную часть.         Пример 3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z + 2.         Р ешение. Здесь z₀ = -2; функция теряет аналитичность только в точке z₀ и в точке z₁ = 2, отстоящей от z₀ на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1. 0 < | z + 2| < 4 и 2. | z – 2| > 4.

.

Первый множитель представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции .         1. В первом кольце 0 < | z + 2| < 4.

Получаем

, , , .         Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями z + 2, выделить главную часть: и т.д., но это уже не принципиально.         2. Во втором кольце | z + 2| > 4 получаем

, , , .

 

  ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИИ. ВЫЧЕТЫ.

        Нули аналитической функции.         Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f ^(k−1)(a) = 0, но f ^(k)(a) ≠ 0.         Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля: f ″(z) = − sin z + z,  f ″(0)= 0, f ^{( 3 )}(z) = − cos z + 1, f ^{( 3 )}(0) = 0, f ^{( 4 )}(z) = sin z, f ^{( 4 )}(0) = 0, f ^{( 5 )}(z) = cos z, f ^{( 5 )}(0) = 1 ≠ 0,. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .         Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z) представлялась в виде f( z) = (z − a) ^k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.         Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f ^(k−1)(a) = 0, и  f ^(k)(a) ≠ 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид , где - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, .         Достаточность. Пусть f( z) = (z − a) ^k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0. Находим производные этой функции по формуле Лейбница ( uv ) ⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾ v + n u ^{(n - 1)} v ′ + C_n² u ^{(n - 2 )} v ″ + C_n³ u ^{(n - 3 )} v^{(3 )} + … + C_n² u ″ v ^{(n - 2)} + n u ′ v ^{(n - 1 )} + u v ^{(n )}: f ′(z) = k(z − a)^{k - 1} φ(z) + (z − a)^k φ ′(z),  f ′(a) = 0;  f ″(z) = k (k − 1)(z − a)^{(k - 2)} φ(z) + 2k (z − a)^{(k - 1)} φ′(z) + (z − a)^(k) φ″(z),  f ″(a) = 0; …………… ………………………….; f ^{( k -1 )}(z) = k·( k -1 )·…2·(z − a) φ(z) + C¹_k-1k·( k -1 )·…3·(z − a)² φ ′(z) + … + (z − a) ^k φ^{(k -1)}(z),  f ^{( k -1 )}(a) = 0; f ^{( k)}(z) = k·( k -1 )·…2·1·φ(z) + C¹_k k·( k -1 )·…2·(z − a) φ ′(z) + … + (z − a) ^k φ^(k)(z),  f ^{( k)}(a) = k!·φ(a) ≠ 0, что и требовалось доказать.         Из этой теоремы следует, что если многочлен

P _n(z) = a₀ z ⁿ + a₁ z ^{n - 1} + a₂ z ^{n - 2} + … + a _{n - 1} z = 0 (1)

разложен на множители

P _n(z) = a₀ (z − z₁) ^k₁ (z − z₂) ^k₂ … (z − z_l) ^k_l , (2)

то корни z₁, z₂, …, z_l являются нулями функции P _n(z) кратностей, соответственно, k₁, k₂, …, k_l.