Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону

.

Тогда уравнение движения запишется следующим образом:

.

Разделим уравнение на mи введем обозначения

, , ,

получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

, (6.35)

где - коэффициент затухания,- собственная частота колебаний системы.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем, оно имеет следующий вид:

, (6.36)

,

где А₀и- произвольные постоянные.

Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения. Будем искать это решение в виде

(6.37)

и попытаемся выяснить, не существует ли таких значений А и , при которых данная функция удовлетворяет уравнению (6.35).

Найдем производные

; (6.38)

. (6.39)

Подставим (6.37), (6.38) и (6.39) в уравнение (6.35):

.

Учтем, что

,

и перепишем предыдущее уравнение в следующем виде:

Сгруппируем члены при costи sint:

(6.40)

Для того, чтобы уравнение (6.40) удовлетворялось при всех значениях t, необходимо, чтобы коэффициенты при sintиcostв левой и правой частях уравнения были одинаковы. Отсюда следуют два уравнения:

; (6.41)

. (6.42)

Возводя в квадрат и складывая их друг с другом, получим:

,

. (6.43)

Из (6.43) следует, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы (f₀) и зависит от ее частоты ().

Из уравнения (6.42) найдем сдвиг фаз:

;

, (6.44)

т.е. вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы, причем величина сдвига фаз зависит от частоты вынуждающей силы.

Подставляя (6.43) и (6.44) в уравнение (6.37), получим частное решение неоднородного уравнения:

. (6.45)

Функция (6.45) в сумме с (6.36) дает общее решение уравнения (6.35), которое описывает поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (6.36) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, с течением времени из-за экспоненциального множителя е^-tроль слагаемого (6.36) уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя в решении слагаемое (6.45).

Таким образом, функция (6.45) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (6.43) приводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту _рез, нужно найти максимум функции или минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе формулы (6.43). Продифференцируем это выражение пои, приравняв нулю, получим:

. (6.46)

Уравнение (6.46) имеет три решения:

.

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Отрицательное должно быть отброшено, так как оно лишено физического смысла (частота не может быть отрицательна). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

.

Подставив это значение частоты в (6.43), получим выражение для амплитуды при резонансе:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы изображается графически (рис.6.17) и называется резонансной кривой.

A     рез  Рис.6.17

При 0 из уравнения (6.43) следует, что , т.е. при 0 все кривые приходят к одному и тому же предельному значению. Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоян

ной величины f. Чем меньше, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда, тем острее получается максимум. При стремлениивсе кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

6.6. Волновые процессы

6.6.1. Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и так далее) находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ними частицы среды. При этом возникают периодические деформации (сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия. Благодаря взаимодействию соседних элементов среды, упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательные движения около положения равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом, или просто волной. В зависимости от характера возникающих при этом деформаций различают волны продольные и поперечные. Волны, в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называются поперечными.

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль линии, совпадающей с направлением распространения колебаний, называются продольными.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига и в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде сжатий и разрежений среды. Волны, возбуждаемые на поверхности воды, являются поперечными. В твердых телах могут распространяться продольные и поперечные волны.

Пусть скорость распространения возмущения в среде равна . Если колебания возмущающей системы происходят по закону

y=Acos t, (6.47)

то точка среды, отстоящая от нее на расстоянии x, колеблется по тому же закону.

Для точки М, находящейся на расстоянии xот точки О, начало колебаний отстает от начала колебаний в точке О на время, где- скорость распрост-ранения волны (рис.6.18). Таким образом, частицы среды смещаются по закону

y M O x x Рис.6.18

, (6.48)

где y- величина смещения частицы от положения равновесия.

Учитывая, что , а произведениеT=- есть длина волны, уравнение (6.48) можно

записать в виде

. (6.49)

Введем в это уравнение сначала волновое число :

, (6.50)

затем учтем, что :

. (6.51)

Уравнения (6.48-6.51) есть различные виды записи уравнения бегущей волны.

Волна характеризуется периодом, частотой, длиной волны, фазовой скоростью, фронтом волны, волновой поверхностью, формой волны.

Период (Т) – промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание. Частота ()=1/Т – число колебаний в единицу времени.

Длина волны () – это расстояние, которое проходит волна за один период:

Длина волны – это также расстояние между двумя частицами, испытывающими в один и тот же момент времени одинаковое смещение.

Скорость волны есть скорость распространения в пространстве определенной фазы колебания. Поэтому скорость волны называется фазовой скоростью. Скорость распространения волнового процесса нельзя связывать со скоростью движения материальных частиц среды, в которой распространяется волна.

Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волны определяется конфигурацией источника колебаний и свойств среды.

Среда называется однородной, если скорость распространения волны везде одинакова. Среда называется изотропной, если скорость распространения волны одинакова по всем направлениям.

Фронт волны от точечного источника колебаний в однородной изотропной среде имеет вид сферы. Волны при этом называются сферическими.

Если фронт волны представляет собой плоскость, и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

Введя понятие фронта волны, можно дать следующее определение длины волны: длина волны – это расстояние, на которое распространяется фронт волны за время, равное периоду колебаний в источнике волны.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. Волновые поверхности могут быть сферическими, плоскими или иметь сложную форму, в зависимости от конфигурации источника и свойств среды.

На рис.6.19 представлена волновая поверхность точечного источника света в изотропной среде (а) и в анизотропной среде (б), при этом скорость по направлению АА больше, чем по направлению ВВ, т.е._АА_ВВ.

B S S  A A B a) б) Рис.6.19

Форма волны – график, показывающий распределение в среде колеблющейся величины, вдоль оси в данный момент времени.

На рис.6.20 изображена форма волны в изотропной среде – синусоидальная (а) и несинусоидальная (б).

Совокупность синусоидальных волн с различными частотами, фазами и амплитудами называется сложной волной. Если элементарные волны всех частот распространяются в ней с одинаковыми скоростями, то среда не обладает дисперсией. Если скорость распространения колебаний в среде различна для различных частот, то среда обладает дисперсией. В среде с дисперсией сложная волна с течением времени изменяет свою форму.

y y

x x

a) б)

Рис.6.20

В уравнении - фазовая скорость, т.е. скорость, с которой перемещается в среде поверхность, представляющая собой геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Для некосинусоидальных волн, т.е. сложных волн, фазовая скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости волны от частоты называется дисперсией волн. Всякая реальная волна представляет собой наложение – группу бесконечных синусоид (косинусоид), и скорость ее распространения в диспергирующей среде отличается от фазовой скорости слагаемых волн. Скорость распространения реальных волн в диспергирующей среде носит название групповой скорости (u). Групповая скорость и фазовая связаны между собой соотношением

.

Из формулы видно, что групповая скорость тем больше отличается от фазовой , чем больше, т.е. чем сильнее выражена зависимость скорости распространения волн от их длины. При>0 групповая скорость u<, при<0 u>.

Таким образом, групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой. Групповая скорость меньше фазовой, когда >0, т.е. когда более длинные волны распространяются скорее более коротких. Этот случай носит название нормальной дисперсии. Для среды лишенной дисперсии=0 u=, фазовая и групповая скорости совпадают.