§3. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система уравнений: _,

где х - независимая переменная, у₁, у₂,…,у_n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид: .

Теорема (Теорема Коши): Если в некоторой области функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение системы дифференциальных уравнений вида, определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям

Общим решением системы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в исходную систему обращают уравнения в верные тождества.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3).

Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если они записана в виде: .

Решение системы ищется с помощью метода Эйлера, путем подстановки: и , где .

Заменив и перенеся все элементы в одну сторону и сократив на e^kx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть:

Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k₁, k₂, k₃. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы:

Тогда общее решение данной системы запишется в виде:

В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения действительные решения имеют вид: и . В этом случае сразу записывают , , и находят функции z₁, z₂, u₁ и u₂, выражая их через функции y₁ и y₂ и их производные.