2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Решением
дифференциального уравнения вида
является фундаментальная система
решений
,
представляемая в виде общего решения
.
Решения
фундаментальной системы определяется
по методу Эйлера, в котором частное
решение уравнения ищется в виде
,
где k
= const.
Тогда
то
При
этом многочлен
называется характеристическим
многочленом
дифференциального
уравнения, а
характеристическим
уравнением.
Структура фундаментальной системы уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения. Различают три случая:
Все корни характеристического уравнения различны:
вещественны -
,
тогда
.имеются комплексные -
,
тогда
.
Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:
1)
-
вещественный корень кратности s,
тогда
.
2)
-
комплексный корень кратности s,
тогда
,
где Ci –постоянные коэффициенты.
В
частности для линейных однородных
дифференциальных уравнений второго
порядка
.
Если
и
– корни характеристического уравнения
,
то общее решение записывается в одном
из следующих трех видов (см. табл.
1):
Таблица 1
|
Корни
|
Общее решение ЛОДУ |
1)
|
действительные
и различные ( |
|
2)
|
действительные
и равные ( |
|
3)
|
комплексные (а и b – действительные числа) |
|
и
)
)
Пример.
Найти общее
решение уравнения
.
Составим
характеристическое уравнение
и найдем его корни:
;
;
.
Так как
и
– действительные и различные числа, то
общее решение записывается в виде:
.
Пример.
Найти общее
решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид:
,
,
– комплексно-сопряженные корни,
,
.
Общее решение имеет вид
,
отсюда
.
2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
Рассмотрим
линейное
неоднородное дифференциальное
уравнение с произвольными коэффициентами:
Теорема.
Общее решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения
в
некоторой области есть сумма любого
его решения и общего решения соответствующего
линейного однородного дифференциального
уравнения.
Для
решения
линейного неоднородного дифференциального
уравнения применяют
метод вариации
произвольных постоянных. Суть
метода заключается в следующем:
находят
общее решение соответствующего
однородного уравнения в виде:
;
затем, полагая коэффициенты Ci
функциями от х,
ищется решение неоднородного уравнения:
,
где функции Ci(x)
находятся из системы уравнений:
Пример.
Решить
уравнение
Решаем
линейное однородное уравнение
.
Решение
неоднородного уравнения будет иметь
вид:
.
Составляем
систему уравнений:
Решим эту систему:
Из
соотношения
найдем функцию А(х).
Теперь находим В(х).
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:
Окончательный
ответ:
.