1.3. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде:

.

Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными получается после нахождения соответствующих интегралов, то есть .

Если уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: , то путем почленного деления его на они сводится к уравнению .

Замечания.

1. При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.

2. Уравнение также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные: .

3. Уравнение , где a,b,c – числа, сводится к уравнению с разделенными переменными путем замены . Дифференцируя по х получаем: . Интегрируя это уравнение и заменяя u= , получим общий интеграл исходного уравнения.

Пример. Найти все решения уравнения .

Разделяем переменные: . Интегрируем: .

Получаем: или .

В полученном выражении содержатся не все решения данного уравнения. При делении на потеряны решения - это особые решения, которые невозможно включить в решение. Множество интегральных кривых данного уравнения состоит из семейства окружностей радиусом 1 с центром в точке (С; 0) и прямых .

Рис. 2

1.4. Однородные уравнения

Однородной функцией f(x, y) нулевого измерения, или, просто, однородной функцией, называется функция только от отношения . Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: .

При решении однородных дифференциальных уравнений сохраняя прежнюю независимую переменную х, вводят вспомогательную неизвестную функцию t по формуле: . Откуда . Преобразуя уравнение , получаем: . Найдя отсюда выражение для t как функции от x возвращаются к переменной , получая при этом решение однородного дифференциального уравнения.

Замечание: Иногда целесообразно вместо постановки использовать подстановку .

Пример. Решить уравнение .

Делаем замену: .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные: .

Интегрируя: , получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

1.5. Уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальное уравнение вида: приводится к однородному дифференциальному уравнению или к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

1 случай. Уравнение, приводящиеся к однородному дифференциальному уравнению.

Если определитель то совершается замена: где  и  - решения системы уравнений . Подставляя замену, получим однородное дифференциальное уравнение вида: .

Пример. Решить уравнение

Получаем

Находим значение определителя .

Решаем систему уравнений

Применяем подстановку в исходное уравнение:

Получили однородное уравнение и осуществляем замену переменных при подстановке в выражение имеем: .

Разделяем переменные:

; ; .

Вернемся к первоначальной функции у и переменной х.

;

;

; .

Получаем выражение , которое является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

2 случай. Уравнение, приводящиеся к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Если определитель то совершается замена: , где . Отсюда, . Подставляя замену, получим дифференциальное уравнение вида: .

Пример. Решить уравнение

Получаем

Находим значение определителя .

Применяем подстановку , тогда .

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

.

Разделяем переменные:

.

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

– получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.