2.2.2.Метод Фостера—Стьюарта

Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода также содержит четыре этапа.

На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

l, если y_t больше всех предыдущих уровней;

k_t =

0, в противном случае,

l, если y_t меньше всех предыдущих уровней;

l_t =

0, в противном случае,

t = 2,3, ...,n.

На втором этапе вычисляются величины s и d:

Формула 9

Величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n-1 (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от -(n-1) (ряд монотонно убывает) до (n-1) (ряд монотонно возрастает).

Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными

1) отклонение величины s от величины μ — математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

2) отклонение величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

;

Формула 10

где μ — математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

₁ — среднеквадратическое отклонение для величины s;

₂ — среднеквадратическое отклонение для величины d.

Для удобства имеются табулированные значения величин μ, ₁ и ₂; фрагмент этих значений представлен в табл. 5.

Таблица 5. Значения μ, ₁ и ₂ для n от 10 до 40

n	10	20	30	40
μ	3,858	5,195	5,990	6,557
1	1,288	1,677	1,882	2,019
2	1,964	2,279	2,447	2,561

На четвертом этапе расчетные значения t_s и t_d сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента t_кр для числа степеней свободы  = n - 1 и заданного уровня значимости . Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть. Например, если t_s больше табличного значения t_кр, a t_d меньше t_кр, то для данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровней ряда нет.

2.2.3.Метод «критерий серий»

С целью проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда (случайности ряда) рассмотрим критерий серий, основанный на медиане.

Значение временного ряда сопоставляется с выборочной медианой, и если x(t) > , то для соответствующего наблюдения член последовательности, образующего серии, принимает знак«+», если x(t) < , то – знак «-».

В методе критерий серий, основанном на медиане выборки, для того чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей), должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости):

, Формула 11

где n – длина временного ряда;

ν(n) – число серий;

τ_max(n) – число подряд идущих плюсов или минусов в самой длинной серии;

квадратные скобки, как обычно, означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из неравенств (11) нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с вероятностью ошибки α, заключенной между 0,05 и 0,0975 (и, следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении (3) исследуемого ряда).

Проверка гипотезы по «восходящей» и «нисходящей» серий основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий – слишком маленьким.

Каждое значение временного ряда сравнивается с предыдущим, и, если x_t > x_t-1, то для соответствующего наблюдения член последовательности, образующего серии, принимает знак«+», если x_t < x_t-1, то – знак «-».

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий устанавливается исходя из системы неравенств

, Формула 12

где n – длина временного ряда;

ν(n) – число серий;

τ_max(n) – число подряд идущих плюсов или минусов в самой длинной серии.

Следует отметить, что τ₀ принимает значения в зависимости от n т.е: если n ≤26, то τ₀ = 5; если 26< n ≤ 153, то τ₀ = 6; и если 153<n≤ 1170, то τ₀ = 7. Если хотя бы одно из неравенств (12) окажется нарушенным, то гипотезу об отсутствии тренда следует отвергнуть, т.е. признать, что в разложении (3) анализируемого временного ряда присутствует неслучайная, зависящая от времени t компонента.